Problema 55.

Determine as equações das retas tangentes à hipérbole, dada pela equação
x^{2}-y^{2}=16
traçadas a partir do ponto A(-1,-7).

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à hipérbole
x^{2}-y^{2}=16
traçadas a partir do ponto A(-1,-7).
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando a ideia de que uma reta genérica
y = m x + b
é tangente à cônica se, ao substituir na equação desta, obtivermos uma equação quadrática em x com discriminante igual a zero.

Passo 2

Como a reta deve passar por A(-1,-7), substituímos x=-1 e y=-7 em
y = m x + b
para encontrar b. Assim,
-7 = m\cdot(-1) + b \quad\Longrightarrow\quad b = -7 + m.
Logo a reta fica
y = m x + (m -7).

Passo 3

Substituímos essa reta na hipérbole. Temos
x^{2} - y^{2} - 16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - \bigl(m x + (m-7)\bigr)^{2} - 16 = 0.
Expandindo, obtemos uma equação do tipo
(1 - m^{2})\,x^{2} \;-\;2m(m-7)\,x \;-\;\bigl[(m-7)^{2}+16\bigr] \;=\;0.
Para que haja tangência, o discriminante dessa quadrática em x deve ser zero.

Passo 4

O discriminante é
\Delta = \bigl[2m(m-7)\bigr]^{2} - 4\,(1-m^{2})\Bigl((m-7)^{2}+16\Bigr).
Exigindo \Delta=0 e simplificando, chega-se à equação
15\,m^{2} +14\,m -65 = 0,
cuja solução é
m = \frac{-14 \pm \sqrt{196 +3900}}{30} = \frac{-14 \pm 64}{30}.
Portanto
m_{1} = \frac{50}{30} = \tfrac{5}{3}, \quad m_{2} = \frac{-78}{30} = -\tfrac{13}{5}.

Passo 5

Para cada m obtemos b = -7 + m e escrevemos a reta:
Para m_{1}=\tfrac{5}{3}:
b = -7 + \tfrac{5}{3} = -\tfrac{16}{3},
logo
y = \tfrac{5}{3}\,x - \tfrac{16}{3},
ou em forma geral
5x - 3y -16 = 0.
Para m_{2}=-\tfrac{13}{5}:
b = -7 - \tfrac{13}{5} = -\tfrac{48}{5},
logo
y = -\tfrac{13}{5}\,x - \tfrac{48}{5},
ou em forma geral
13x + 5y +48 = 0.

Resposta

5x - 3y -16 = 0
13x + 5y +48 = 0

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