Problema 55.
Determine as equações das retas tangentes à hipérbole, dada pela equação
traçadas a partir do ponto
.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangentes à hipérbole
traçadas a partir do ponto
.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando a ideia de que uma reta genérica
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando a ideia de que uma reta genérica
é tangente à cônica se, ao substituir na equação desta, obtivermos uma equação quadrática em
com discriminante igual a zero.
Passo 2
Como a reta deve passar por
, substituímos
e
em
para encontrar
. Assim,
Logo a reta fica
Passo 3
Substituímos essa reta na hipérbole. Temos
Expandindo, obtemos uma equação do tipo
Para que haja tangência, o discriminante dessa quadrática em
deve ser zero.
Passo 4
O discriminante é
Exigindo
e simplificando, chega-se à equação
cuja solução é
Portanto
Passo 5
Para cada
obtemos
e escrevemos a reta:
Para
:
logo
ou em forma geral
Para
:
logo
ou em forma geral