Seja a parábola dada por
y^{2}=5 x
e considere o ponto A=(5,9). Por esse ponto, traçam-se as duas retas tangentes à parábola. Determine a equação da corda da parábola que une os dois pontos de contato dessas tangentes.

Passo 1

O enunciado dá a parábola y^2 = 5x e o ponto A=(5,9). Queremos a corda de contato, isto é, a reta que une os dois pontos de tangência das retas traçadas de A à parábola. O conteúdo aqui é geometria analítica de cônicas, usando a noção de polar (chord of contact) de um ponto em relação à parábola.

Passo 2

Escrevemos a parábola no formato padrão
y^2 = 4a x
Comparando com y^2 = 5x, temos 4a = 5, logo
a = \tfrac{5}{4}.

Passo 3

Para a parábola y^2=4a x, a equação da polar (cuerda de contacto) de um ponto (x_1,y_1) é
y\,y_1 = 2a\,(x + x_1)

Passo 4

No nosso caso, (x_1,y_1)=(5,9) e 2a = 2\cdot\tfrac{5}{4} = \tfrac{5}{2}. Substituindo,
9y = \tfrac{5}{2}\,(x + 5)
Multiplicando ambos os lados por 2,
18y = 5x + 25
Reescrevendo em forma geral,
5x - 18y + 25 = 0

Resposta

A equação da corda de contato é
5x - 18y + 25 = 0.

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