Problema 58.

Determine os pontos de interseção da reta, definida por
x+2 y-7=0
com a elipse
x^{2}+4 y^{2}=25

Passo 1

O enunciado pede os pontos de interseção da reta
x + 2y - 7 = 0
com a elipse
x^{2} + 4y^{2} = 25.
O conteúdo aqui é resolver um sistema de duas equações em x e y; vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Da reta isolamos x:
x = 7 - 2y.

Passo 3

Substituímos x = 7 - 2y na equação da elipse:
(7 - 2y)^{2} + 4y^{2} = 25.
Expandindo, obtemos
49 - 28y + 4y^{2} + 4y^{2} = 25
ou seja
8y^{2} - 28y + 49 - 25 = 0
e então
8y^{2} - 28y + 24 = 0.

Passo 4

Dividindo tudo por 4, temos
2y^{2} - 7y + 6 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1.
Logo
y = \frac{7 \pm 1}{4},
resultando em
y_{1} = 2 \quad\text{e}\quad y_{2} = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Para cada y calculamos x = 7 - 2y:
- Se y_{1} = 2, então x_{1} = 7 - 2\cdot2 = 3.
- Se y_{2} = \tfrac{3}{2}, então x_{2} = 7 - 2\cdot\tfrac{3}{2} = 4.

Resposta

(3,2) e \bigl(4,\tfrac{3}{2}\bigr)

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