Para o problema anterior, com o auxílio de um software computacional, determine as frequências naturais, razão de amortecimento em cada GDL e a resposta dinâmica do sistema. Considere
. Considere
e
. Utilize as seguintes condições iniciais para o problema:
,
e
.
e
Passo 1
O enunciado pede que eu determine, com auxílio de um software computacional:
- as frequências naturais do sistema;
- a razão de amortecimento (damping ratio) em cada grau de liberdade;
- a resposta dinâmica do sistema para as condições iniciais dadas.
Os dados numéricos fornecidos no enunciado são:
,
,
,
,
,
.
Condições iniciais: ,
,
.
Condições iniciais:
Importante: o enunciado menciona “o problema anterior”. Para montar as matrizes de massa, rigidez e amortecimento (
,
,
) é imprescindível conhecer a topologia exata do sistema (como os elementos estão conectados: massas ligadas em série, massas com molas/dampers ao solo, condições de contorno, onde estão
e
etc.). Essa figura/descrição do problema anterior não foi enviada aqui. Sem a informação da conectividade (diagrama), não é possível montar de forma única
,
e
e, consequentemente, não é possível calcular numericamente as frequências naturais, razões de amortecimento e a resposta dinâmica específica para este sistema.
Passo 2
O que seria necessário para resolver numericamente (aulas rápidas e didáticas sobre os conceitos):
- Matriz de massa
: matriz simétrica, diagonal (no caso de massas concentradas nos GDLs) em que a entrada é a massa associada ao grau de liberdade . Por exemplo, se cada massa está associada a um GDL, então . - Matriz de rigidez
: matriz simétrica que descreve como as molas ligam os graus de liberdade. Entradas diagonais representam a soma das rigidezes conectadas ao GDL ; entradas fora da diagonal são negativas quando há rigidez direta entre e . - Matriz de amortecimento
: análoga a , descreve os amortecedores. Pode ser proporcional (ou seja, ) ou geral. Se for proporcional, as equações ficam muito mais fáceis de diagonalizar nas mesmas auto-vetores de e .
Equação de movimento matricial geral sem forças externas:
onde
é o vetor de deslocamentos
.
Frequências naturais (não amortecidas) e modos:
- Resolver o problema próprio não amortecido:
Aqui
é o modo próprio (autovetor) associado à frequência natural angular
. A frequência natural em Hz é
. Explico: esse é um problema de autovalores generalizado; as soluções
são autovalores e
os autovetores.
Razão de amortecimento modal:
- Se os autovetores forem normalizados tal que
(normalização de massa), então a razão de amortecimento modal é
Explicando as peças:
é a “amortecimento efetivo” visto pelo modo
; dividimos por
para obter a razão adimensional de amortecimento
. Se
é proporcional, esta fórmula simplifica e cada modo tem amortecimento diretamente relacionado a
.
Resposta no tempo com
:
- Escolhendo autovetores mass-normalizados (
) e definindo coordenadas modais por , obtemos equações desacopladas aproximadamente (se for proporcional):
- Solução para cada modo com condições iniciais
e :
onde
é a frequência amortecida.
- A resposta física é
.
Passo 3
Procedimento computadorizado passo a passo (o que você faria no software, explicado como aula):
- Montar
, , a partir do diagrama do sistema (cada mola/amortecedor contribui a linhas/colunas de e ; cada massa vai para diagonal de ). Ex.: ao conectar uma mola entre GDL e , faça , , , . - Usar um solver de autovalores generalizado (por exemplo, em Python: scipy.linalg.eigh) para resolver
com . Ordenar autovalores crescentemente e obter . - Normalizar autovetores
para massa: , garantindo . - Calcular
por . - Projetar condições iniciais:
e (se está massa-normalizada, então ). - Calcular
usando a fórmula do passo anterior e reconstruir . - Se
não for proporcional e altamente não-diagonal, em vez de modal clássico faça formulação de espaço de estados: - Definir vetor de estado
e matriz tal que . - Calcular autovalores complexos de
; partes reais dão amortecimento modal, partes imaginárias dão frequências amortecidas. A partir dos autovalores complexos obtém-se e . - Integrar numericamente usando ode solver (ex.: scipy.integrate.solve_ivp).
- Definir vetor de estado
Passo 4
Exemplo de código geral (estruturado e comentado) que você executaria após montar
(aqui eu não monto
porque falta o diagrama — você só colocaria as matrizes correspondentes aos seus elementos):
Python / SciPy (esboço):
import numpy as np
from scipy.linalg import eigh
# M, K, C devem ser arrays numpy 3x3 preenchidos de acordo com o diagrama
# Ex.: M = np.diag([m1,m2,m3])
# 1) resolver K phi = lambda M phi
eigvals, eigvecs = eigh(K, M) # eigvals = lambda = omega^2
omega = np.sqrt(np.abs(eigvals)) # frequências angulares
# 2) normalizar modos pela massa
for i in range(3):
phi = eigvecs[:,i]
norm = np.sqrt(phi.T @ M @ phi)
eigvecs[:,i] = phi / norm
# 3) razões de amortecimento modais
zeta = np.zeros(3)
for i in range(3):
phi = eigvecs[:,i]
zeta[i] = 0.5/omega[i] * (phi.T @ C @ phi)
# 4) projetar condições iniciais
x0 = np.array([0.0, 0.0, 0.05])
v0 = np.array([0.0, 0.0, 0.0])
q0 = eigvecs.T @ (M @ x0)
qd0 = eigvecs.T @ (M @ v0)
# 5) calcular resposta modal q_n(t) usando fórmula analítica para cada modo
# (usar vetor de tempos e montar x(t) = eigvecs @ q(t))
Comentário didático: esse código fornece
,
e permite reconstruir
. Se
não for proporcional e você notar modos complexos, é preferível integrar a equação de estado numericamente.
Passo 5
Resumo didático de como interpretar resultados quando obtidos:
- Se
(subamortecido): o modo oscila com frequência amortecida e decai exponencialmente com tempo característico . - Se
: quase sem amortecimento; resposta persiste por muito tempo. - Se
: superamortecido (sem oscilações) — raro em sistemas estruturais com pequenos amortecimentos. - A resposta total é combinação linear dos modos; condições iniciais determinam quanto cada modo é excitado.
Passo 6
Conclusão prática e limitação específica deste caso:
- Como a topologia/conectividade do “problema anterior” não foi enviada, não posso montar de forma única as matrizes
, e e, portanto, não posso fornecer aqui os valores numéricos das frequências naturais, das razões de amortecimento nem a resposta temporal numérica do sistema com os dados que você mandou. - Se você me enviar o diagrama do sistema (ou explicitamente as matrizes
, e ), eu executo exatamente o procedimento acima, mostro o código com saída numérica e ploto/tables com: -
(rad/s) e (Hz), -
para cada modo, - curvas
para o vetor de tempos desejado.
-
Resposta
Não é possível calcular numericamente as frequências naturais, as razões de amortecimento e a resposta dinâmica porque falta a figura/descrição de conectividade do “problema anterior” necessária para construir as matrizes
,
e
.