Para o problema anterior, com o auxílio de um software computacional, determine as frequências naturais, razão de amortecimento em cada GDL e a resposta dinâmica do sistema. Considere F_{1}=F_{2}=F_{3}=0[\mathrm{~N}]. Considere m_{1}=m_{2}=3[\mathrm{~kg}], m_{3}=1[\mathrm{~kg}], k_{1}=k_{2}=k_{3}=1.000[\mathrm{~N} / \mathrm{m}], c_{1}=c_{2}=c_{3}=10[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}]
e c_{4}=c_{5}=0[\mathrm{Ns} / \mathrm{m}]. Utilize as seguintes condições iniciais para o problema: x_{1}(0)=x_{2}(0)=0[\mathrm{~m}], x_{3}(0)=0.05[\mathrm{~m}] e \dot{x}_{1}(0)=\dot{x}_{2}(0)=\dot{x}_{3}(0)=0[\mathrm{~m} / \mathrm{s}].

Passo 1

O enunciado pede que eu determine, com auxílio de um software computacional:
  • as frequências naturais do sistema;
  • a razão de amortecimento (damping ratio) em cada grau de liberdade;
  • a resposta dinâmica do sistema para as condições iniciais dadas.
Os dados numéricos fornecidos no enunciado são:
m_{1}=m_{2}=3\;[\mathrm{kg}], m_{3}=1\;[\mathrm{kg}],
k_{1}=k_{2}=k_{3}=1000\;[\mathrm{N}/\mathrm{m}],
c_{1}=c_{2}=c_{3}=10\;[\mathrm{Ns}/\mathrm{m}], c_{4}=c_{5}=0\;[\mathrm{Ns}/\mathrm{m}],
F_{1}=F_{2}=F_{3}=0\;[\mathrm{N}].
Condições iniciais: x_{1}(0)=x_{2}(0)=0\;[\mathrm{m}], x_{3}(0)=0,05\;[\mathrm{m}],
\dot{x}_{1}(0)=\dot{x}_{2}(0)=\dot{x}_{3}(0)=0\;[\mathrm{m}/\mathrm{s}].
Importante: o enunciado menciona “o problema anterior”. Para montar as matrizes de massa, rigidez e amortecimento ( M, K, C) é imprescindível conhecer a topologia exata do sistema (como os elementos estão conectados: massas ligadas em série, massas com molas/dampers ao solo, condições de contorno, onde estão c_4 e c_5 etc.). Essa figura/descrição do problema anterior não foi enviada aqui. Sem a informação da conectividade (diagrama), não é possível montar de forma única M, K e C e, consequentemente, não é possível calcular numericamente as frequências naturais, razões de amortecimento e a resposta dinâmica específica para este sistema.

Passo 2

O que seria necessário para resolver numericamente (aulas rápidas e didáticas sobre os conceitos):
  • Matriz de massa \;M\;: matriz simétrica, diagonal (no caso de massas concentradas nos GDLs) em que a entrada M_{ii} é a massa associada ao grau de liberdade i. Por exemplo, se cada massa está associada a um GDL, então \;M=\mathrm{diag}(m_1,m_2,m_3)\;.
  • Matriz de rigidez \;K\;: matriz simétrica que descreve como as molas ligam os graus de liberdade. Entradas diagonais K_{ii} representam a soma das rigidezes conectadas ao GDL i; entradas fora da diagonal K_{ij} são negativas quando há rigidez direta entre i e j.
  • Matriz de amortecimento \;C\;: análoga a K, descreve os amortecedores. Pode ser proporcional (ou seja, C=\alpha M+\beta K) ou geral. Se C for proporcional, as equações ficam muito mais fáceis de diagonalizar nas mesmas auto-vetores de K e M.
Equação de movimento matricial geral sem forças externas:
M\ddot{x}(t)+C\dot{x}(t)+Kx(t)=0,
onde x(t) é o vetor de deslocamentos (x_1,x_2,x_3)^T.
Frequências naturais (não amortecidas) e modos:
  • Resolver o problema próprio não amortecido:
K\phi_n=\omega_n^2 M\phi_n.
Aqui \phi_n é o modo próprio (autovetor) associado à frequência natural angular \omega_n. A frequência natural em Hz é f_n=\dfrac{\omega_n}{2\pi}. Explico: esse é um problema de autovalores generalizado; as soluções \omega_n^2 são autovalores e \phi_n os autovetores.
Razão de amortecimento modal:
  • Se os autovetores forem normalizados tal que \phi_n^T M \phi_n = 1 (normalização de massa), então a razão de amortecimento modal é
\zeta_n = \frac{1}{2\omega_n}\,\phi_n^T C \phi_n.
Explicando as peças: \phi_n^T C \phi_n é a “amortecimento efetivo” visto pelo modo n; dividimos por 2\omega_n para obter a razão adimensional de amortecimento \zeta_n. Se C é proporcional, esta fórmula simplifica e cada modo tem amortecimento diretamente relacionado a \alpha,\beta.
Resposta no tempo com F(t)=0:
  • Escolhendo autovetores mass-normalizados ( \Phi^T M \Phi = I) e definindo coordenadas modais q(t) por x(t)=\Phi q(t), obtemos equações desacopladas aproximadamente (se C for proporcional):
\ddot{q}_n + 2\zeta_n\omega_n \dot{q}_n + \omega_n^2 q_n = 0.
  • Solução para cada modo com condições iniciais q_n(0)=q_{n0} e \dot{q}_n(0)=\dot{q}_{n0}:
q_n(t)=e^{-\zeta_n\omega_n t}\!\left[q_{n0}\cos(\omega_{d,n}t)+\frac{\dot{q}_{n0}+\zeta_n\omega_n q_{n0}}{\omega_{d,n}}\sin(\omega_{d,n}t)\right],
onde \omega_{d,n}=\omega_n\sqrt{1-\zeta_n^2} é a frequência amortecida.
  • A resposta física é x(t)=\Phi q(t).

Passo 3

Procedimento computadorizado passo a passo (o que você faria no software, explicado como aula):
  1. Montar M, K, C a partir do diagrama do sistema (cada mola/amortecedor contribui a linhas/colunas de K e C; cada massa vai para diagonal de M). Ex.: ao conectar uma mola k entre GDL i e j, faça K_{ii}+=k, K_{jj}+=k, K_{ij}-=k, K_{ji}-=k.
  2. Usar um solver de autovalores generalizado (por exemplo, em Python: scipy.linalg.eigh) para resolver \;K\varphi=\lambda M\varphi\; com \lambda=\omega^2. Ordenar autovalores \lambda_n crescentemente e obter \omega_n=\sqrt{\lambda_n}.
  3. Normalizar autovetores \phi_n para massa: \phi_n \leftarrow \phi_n / \sqrt{\phi_n^T M \phi_n}, garantindo \phi_n^T M \phi_n = 1.
  4. Calcular \zeta_n por \zeta_n = \dfrac{1}{2\omega_n}\,\phi_n^T C \phi_n.
  5. Projetar condições iniciais: q(0)=\Phi^T M x(0) e \dot{q}(0)=\Phi^T M \dot{x}(0) (se \Phi está massa-normalizada, então \Phi^T M = \Phi^{-1}).
  6. Calcular q_n(t) usando a fórmula do passo anterior e reconstruir x(t)=\Phi q(t).
  7. Se C não for proporcional e altamente não-diagonal, em vez de modal clássico faça formulação de espaço de estados:
    • Definir vetor de estado y=(x,\dot{x})^T e matriz A tal que \dot{y}=Ay.
    • Calcular autovalores complexos de A; partes reais dão amortecimento modal, partes imaginárias dão frequências amortecidas. A partir dos autovalores complexos \lambda = -\zeta\omega \pm i \omega\sqrt{1-\zeta^2} obtém-se \zeta e \omega.
    • Integrar numericamente usando ode solver (ex.: scipy.integrate.solve_ivp).

Passo 4

Exemplo de código geral (estruturado e comentado) que você executaria após montar M,K,C (aqui eu não monto M,K,C porque falta o diagrama — você só colocaria as matrizes correspondentes aos seus elementos):
Python / SciPy (esboço):
import numpy as np
from scipy.linalg import eigh
# M, K, C devem ser arrays numpy 3x3 preenchidos de acordo com o diagrama
# Ex.: M = np.diag([m1,m2,m3])

# 1) resolver K phi = lambda M phi
eigvals, eigvecs = eigh(K, M)   # eigvals = lambda = omega^2
omega = np.sqrt(np.abs(eigvals))  # frequências angulares

# 2) normalizar modos pela massa
for i in range(3):
    phi = eigvecs[:,i]
    norm = np.sqrt(phi.T @ M @ phi)
    eigvecs[:,i] = phi / norm

# 3) razões de amortecimento modais
zeta = np.zeros(3)
for i in range(3):
    phi = eigvecs[:,i]
    zeta[i] = 0.5/omega[i] * (phi.T @ C @ phi)

# 4) projetar condições iniciais
x0 = np.array([0.0, 0.0, 0.05])
v0 = np.array([0.0, 0.0, 0.0])
q0 = eigvecs.T @ (M @ x0)
qd0 = eigvecs.T @ (M @ v0)

# 5) calcular resposta modal q_n(t) usando fórmula analítica para cada modo
# (usar vetor de tempos e montar x(t) = eigvecs @ q(t))
Comentário didático: esse código fornece \omega_n, \zeta_n e permite reconstruir x(t). Se C não for proporcional e você notar modos complexos, é preferível integrar a equação de estado numericamente.

Passo 5

Resumo didático de como interpretar resultados quando obtidos:
  • Se \zeta_n<1 (subamortecido): o modo n oscila com frequência amortecida \omega_{d,n}=\omega_n\sqrt{1-\zeta_n^2} e decai exponencialmente com tempo característico 1/(\zeta_n\omega_n).
  • Se \zeta_n\approx 0: quase sem amortecimento; resposta persiste por muito tempo.
  • Se \zeta_n\ge1: superamortecido (sem oscilações) — raro em sistemas estruturais com pequenos amortecimentos.
  • A resposta total é combinação linear dos modos; condições iniciais determinam quanto cada modo é excitado.

Passo 6

Conclusão prática e limitação específica deste caso:
  • Como a topologia/conectividade do “problema anterior” não foi enviada, não posso montar de forma única as matrizes M, K e C e, portanto, não posso fornecer aqui os valores numéricos das frequências naturais, das razões de amortecimento nem a resposta temporal numérica do sistema com os dados que você mandou.
  • Se você me enviar o diagrama do sistema (ou explicitamente as matrizes M, K e C), eu executo exatamente o procedimento acima, mostro o código com saída numérica e ploto/tables com:
    • \omega_n (rad/s) e f_n (Hz),
    • \zeta_n para cada modo,
    • curvas x_1(t),x_2(t),x_3(t) para o vetor de tempos desejado.

Resposta

Não é possível calcular numericamente as frequências naturais, as razões de amortecimento e a resposta dinâmica porque falta a figura/descrição de conectividade do “problema anterior” necessária para construir as matrizes M, K e C.

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