Problema 1.1 O anti-hidrogênio é o único elemento de antimatéria que foi produzido em laboratório, embora apenas alguns átomos por vez. Cada átomo de anti-hidrogênio consiste em um pósitron em órbita ao redor de um antipróton e tem a mesma massa atômica do hidrogênio. Se um átomo de anti-hidrogênio colide com um átomo de hidrogênio, eles se aniquilam e criam radiação gama. (a) Qual quantidade mínima de energia é liberada neste processo? (b) Se essa energia pudesse ser aproveitada em um motor automotivo de matéria-antimatéria, quão longe um carro poderia viajar com 10 mg de anti-hidrogênio e 10 mg de hidrogênio? Em velocidades de rodovia, um típico automóvel gasta cerca de 2,5 \times 10^{3} \mathrm{~J} por metro.

Passo 1

O enunciado fala da aniquilação completa de um átomo de anti-hidrogênio com um átomo de hidrogênio, transformando toda a massa em energia gama. O conteúdo envolvido é a fórmula da relatividade especial, E = m\,c^2, onde m é a massa total aniquilada e c é a velocidade da luz. Em (a) calculamos a energia mínima liberada por uma única aniquilação atômica; em (b) avaliamos a energia obtida de 10\,\text{mg} de anti-hidrogênio e 10\,\text{mg} de hidrogênio e convertemos em distância percorrida por um carro que gasta 2{,}5\times10^3,J/m.

Passo 2

Para (a), a massa total aniquilada em uma única colisão é a soma das massas de próton, elétron, antipróton e pósitron, ou seja,
m_{\text{tot}} = 2\,(m_p + m_e).
Usamos m_p = 1{,}6726\times10^{-27},kg e m_e = 9{,}109\times10^{-31},kg.

Passo 3

Primeiro calculamos m_{\text{tot}}:
m_{\text{tot}} = 2\bigl(1{,}6726\times10^{-27} + 9{,}109\times10^{-31}\bigr)\approx3{,}347\times10^{-27}\,\text{kg}.
Aplicando \displaystyle E=m_{\text{tot}}c^2 com c=3{,}0\times10^8,m/s,
E = 3{,}347\times10^{-27}\times(3{,}0\times10^8)^2\approx3{,}01\times10^{-10}\,\text{J}.

Passo 4

Para (b), temos 10\,\text{mg} de anti-hidrogênio aniquilando 10\,\text{mg} de hidrogênio, totalizando
m_{\text{total}} = 2\times10\,\text{mg} = 2{,}0\times10^{-5}\,\text{kg}.
A energia disponível é
E_{\text{total}} = m_{\text{total}}\,c^2 = 2{,}0\times10^{-5}\times(3{,}0\times10^8)^2 = 1{,}8\times10^{12}\,\text{J}.

Passo 5

Um carro gasta 2{,}5\times10^3,J por metro, logo a distância percorrida é
d = \frac{E_{\text{total}}}{2{,}5\times10^3} = \frac{1{,}8\times10^{12}}{2{,}5\times10^3} = 7,2\times10^8\,\text{m} = 7,2\times10^5\,\text{km}.

Resposta

(a) 3{,}01\times10^{-10}\,\text{J}
(b) 7,2\times10^8\,\text{m} (ou 7,2\times10^5\,\text{km})

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