Problema 1 Calcule a integral
\iiint_{\Omega} x d x d y d z
sendo \Omega a região no primeiro octante, limitada acima por z=8-2 x^{2}-y^{2} e abaixo por z=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\Omega} x\,dx\,dy\,dz
onde \Omega é a região no primeiro octante limitada por cima pela superfície
z = 8 - 2x^{2} - y^{2}
e por baixo pela superfície
z = y^{2}.
Informações relevantes dadas:
  • A integranda é x.
  • A região está no primeiro octante, ou seja, x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • As superfícies que limitam z são z=y^{2} (inferior) e z=8-2x^{2}-y^{2} (superior).
  • Precisamos integrar sobre todos os pontos (x,y,z) que satisfazem essas condições.

Passo 2

Determinamos a projeção da região \Omega no plano xy (vamos chamar essa projeção de D). Para encontrar D encontramos onde as duas superfícies se intersectam, isto é, resolvemos
y^{2} = 8 - 2x^{2} - y^{2}.
Somando y^{2} dos dois lados obtemos
2y^{2} = 8 - 2x^{2}
ou
x^{2} + y^{2} = 4.
Portanto a projeção D é o conjunto de pontos (x,y) no primeiro quadrante tal que
x^{2} + y^{2} \le 4,\qquad x\ge 0,\; y\ge 0,
ou seja, D é um setor circular de raio 2 correspondente ao quarto de disco no primeiro quadrante.

Passo 3

Expressamos a integral tripla como uma integral iterada sobre a projeção D:
\iiint_{\Omega} x\,dV = \iint_{D} \left(\int_{z=y^{2}}^{z=8-2x^{2}-y^{2}} x\,dz\right) dA.
Aqui dV = dz\,dA e dA é o elemento de área no plano xy. Como x é tratado como constante quando integramos em z, a integral interna dá
\int_{y^{2}}^{8-2x^{2}-y^{2}} x\,dz = x\bigl(8-2x^{2}-y^{2} - y^{2}\bigr) = x\bigl(8-2x^{2}-2y^{2}\bigr) = 2x\bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr).
Logo a integral reduz-se a
\iint_{D} 2x\bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA.

Passo 4

É conveniente passar para coordenadas polares porque D é um quarto de disco e a expressão x^{2}+y^{2} aparece naturalmente. Fazemos a mudança
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. O elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.
Os limites correspondentes: como D é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante, temos
0 \le r \le 2,\qquad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.

Passo 5

Substituímos x, x^{2}+y^{2} e dA na integral:
2x\bigl(4 - x^{2} - y^{2}\bigr)\,dA = 2(r\cos\theta)\bigl(4 - r^{2}\bigr)\cdot r\,dr\,d\theta.
Simplificando:
2(r\cos\theta)(4 - r^{2})r = 2r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2}).
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2} 2r^{2}\cos\theta\,(4 - r^{2})\,dr\,d\theta.

Passo 6

Observamos que a expressão é produto de uma função de \theta (que é \cos\theta) e de uma função de r. Podemos separar a integral:
\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right) \cdot \left(\int_{0}^{2} 2r^{2}(4 - r^{2})\,dr\right).

Passo 7

Calculamos a integral angular:
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = \sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)-\sin(0) = 1 - 0 = 1.

Passo 8

Calculamos a integral radial:
\int_{0}^{2} 2r^{2}(4 - r^{2})\,dr = 2\int_{0}^{2} \bigl(4r^{2} - r^{4}\bigr)\,dr.
Integramos termo a termo:
2\left[ \frac{4r^{3}}{3} - \frac{r^{5}}{5} \right]_{0}^{2} = 2\left( \frac{4\cdot 2^{3}}{3} - \frac{2^{5}}{5} \right).
Calculamos os valores numéricos:
\frac{4\cdot 2^{3}}{3} = \frac{4\cdot 8}{3} = \frac{32}{3},\qquad \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Portanto
2\left( \frac{32}{3} - \frac{32}{5} \right) = 2\cdot 32\left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) = 64\left( \frac{5-3}{15} \right) = 64\cdot \frac{2}{15} = \frac{128}{15}.

Passo 9

Multiplicando a parte angular (que deu 1) pela parte radial (que deu \tfrac{128}{15}) obtemos o valor final da integral:
\iiint_{\Omega} x\,dV = \frac{128}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{128}{15}

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