Problema 1 Calcule a integral
sendo
a região no primeiro octante, limitada acima por
e abaixo por
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região no primeiro octante limitada por cima pela superfície
e por baixo pela superfície
Informações relevantes dadas:
- A integranda é
. - A região está no primeiro octante, ou seja,
, , . - As superfícies que limitam
são (inferior) e (superior). - Precisamos integrar sobre todos os pontos
que satisfazem essas condições.
Passo 2
Determinamos a projeção da região
no plano
(vamos chamar essa projeção de
). Para encontrar
encontramos onde as duas superfícies se intersectam, isto é, resolvemos
Somando
dos dois lados obtemos
ou
Portanto a projeção
é o conjunto de pontos
no primeiro quadrante tal que
ou seja,
é um setor circular de raio
correspondente ao quarto de disco no primeiro quadrante.
Passo 3
Expressamos a integral tripla como uma integral iterada sobre a projeção
:
Aqui
e
é o elemento de área no plano
. Como
é tratado como constante quando integramos em
, a integral interna dá
Logo a integral reduz-se a
Passo 4
É conveniente passar para coordenadas polares porque
é um quarto de disco e a expressão
aparece naturalmente. Fazemos a mudança
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
. O elemento de área transforma-se como
Os limites correspondentes: como
é o quarto de disco de raio
no primeiro quadrante, temos
Passo 5
Substituímos
,
e
na integral:
Simplificando:
Portanto a integral torna-se
Passo 6
Observamos que a expressão é produto de uma função de
(que é
) e de uma função de
. Podemos separar a integral:
Passo 7
Calculamos a integral angular:
Passo 8
Calculamos a integral radial:
Integramos termo a termo:
Calculamos os valores numéricos:
Portanto
Passo 9
Multiplicando a parte angular (que deu
) pela parte radial (que deu
) obtemos o valor final da integral: