Problema 1: Campo elétrico: cargas pontuais [2.0] Quatro cargas pontuais, cada uma com carga q, estão fixas nos quatro cantos de um quadrado de lado L. Encontre o campo elétrico a uma distância z acima do plano do quadrado no eixo que passa pelo centro do quadrado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem quatro cargas pontuais, cada uma com carga q, posicionadas nos quatro cantos de um quadrado de lado L. Queremos encontrar o campo elétrico a uma distância z acima do plano do quadrado, no eixo que passa pelo centro do quadrado. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico de cargas pontuais e a superposição desses campos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual q em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
E = k qr^2
onde:
- E é o campo elétrico,
- k é a constante eletrostática ( k approx 8,99 times 10^9 , N cdot m^2/C^2),
- r é a distância entre a carga e o ponto onde queremos calcular o campo.

Passo 3

No nosso caso, cada carga está localizada nos cantos de um quadrado e queremos calcular o campo em um ponto acima do centro do quadrado. A distância do centro de cada canto até esse ponto é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são L/2 (metade do lado do quadrado) e z. Então, a distância r é:
r = raiz(L2)^2 + z^2

Passo 4

O campo elétrico de cada carga no ponto considerado terá duas componentes: uma horizontal e outra vertical. Porém, devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos das cargas opostas vão se cancelar. Assim, só resta a componente vertical do campo de cada carga.

Passo 5

A componente vertical do campo elétrico de uma carga é dada por:
Ez = E cdot cos(theta)
onde theta é o ângulo entre o campo elétrico e a direção vertical ( z). Nesse caso:
cos(theta) = zr = zraiz(L2)^2 + z^2
Portanto:
Ez = k q(L2)^2 + z^2 cdot zraiz(L2)^2 + z^2
Ez = k q z((L2)^2 + z^2)^32

Passo 6

Como temos quatro cargas, e cada uma contribui com a mesma componente vertical do campo, o campo elétrico total Etotal no ponto considerado será:
Etotal = 4 cdot Ez
Substituindo a expressão de Ez:
Etotal = 4k q z((L2)^2 + z^2)^32

Resposta

O campo elétrico no ponto a uma distância z acima do centro do quadrado é:
Etotal = 4k q z((L2)^2 + z^2)^32

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