Problema 1: Campo elétrico: cargas pontuais [2.0] Quatro cargas pontuais, cada uma com carga
, estão fixas nos quatro cantos de um quadrado de lado
. Encontre o campo elétrico a uma distância
acima do plano do quadrado no eixo que passa pelo centro do quadrado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem quatro cargas pontuais, cada uma com carga
, posicionadas nos quatro cantos de um quadrado de lado
. Queremos encontrar o campo elétrico a uma distância
acima do plano do quadrado, no eixo que passa pelo centro do quadrado. Para isso, vamos usar os conceitos de campo elétrico de cargas pontuais e a superposição desses campos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma carga pontual
em um ponto no espaço é dado pela fórmula:
onde:
-
-
-
Passo 3
No nosso caso, cada carga está localizada nos cantos de um quadrado e queremos calcular o campo em um ponto acima do centro do quadrado. A distância do centro de cada canto até esse ponto é a hipotenusa de um triângulo retângulo, onde os catetos são
(metade do lado do quadrado) e
. Então, a distância
é:
Passo 4
O campo elétrico de cada carga no ponto considerado terá duas componentes: uma horizontal e outra vertical. Porém, devido à simetria do problema, as componentes horizontais dos campos das cargas opostas vão se cancelar. Assim, só resta a componente vertical do campo de cada carga.
Passo 5
A componente vertical do campo elétrico de uma carga é dada por:
onde
Portanto:
Passo 6
Como temos quatro cargas, e cada uma contribui com a mesma componente vertical do campo, o campo elétrico total
no ponto considerado será:
Substituindo a expressão de
Resposta
O campo elétrico no ponto a uma distância
acima do centro do quadrado é: