Vou listar as informações relevantes que tiramos do enunciado: \;B é uma matriz de dimensão 2\times2. \;C é uma matriz de dimensão 2\times3.
A tarefa é avaliar \operatorname{tr}(BC) ou explicar por que essa expressão não está definida.]
Passo 2
Primeiro, o que é a \operatorname{tr} (traço) de uma matriz? Seja uma matriz quadrada genérica \;M=(m_{ij}) de dimensão n\times n. O traço de M é definido por
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
ou seja, é a soma dos elementos da diagonal principal m_{11}+m_{22}+\cdots+m_{nn}. Importante: a definição de traço exige que a matriz seja quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Se a matriz não for quadrada, a operação \operatorname{tr} não é definida no sentido usual.
Passo 3
Antes de tentar calcular o traço, precisamos saber se BC existe e qual é a sua dimensão. Regra do produto: se B é m\times p e C é p\times n, então BC é m\times n. Aqui temos B de dimensão 2\times2 e C de dimensão 2\times3. Portanto o produto BC está definido (porque o número de colunas de B é igual ao número de linhas de C) e sua dimensão será
BC:\;2\times3.
Como BC não é quadrada (tem 2 linhas e 3 colunas), por definição a função traço não se aplica a BC.
Passo 4
Para ilustrar e deixar tudo bem claro, vou calcular BC explicitamente (mesmo que o traço continue não sendo definido). Multiplicamos as linhas de B pelas colunas de C:
Como \operatorname{tr} só é definido para matrizes quadradas e BC é 2\times3 (não quadrada), a expressão \operatorname{tr}(BC) não está definida no sentido padrão. Mesmo que exista uma “soma dos elementos da diagonal principal” parcial (por exemplo 1+2), isso não corresponde à definição de traço para matrizes não quadradas e não é aceito como \operatorname{tr}(BC).
Resposta
A expressão não está definida, pois BC tem dimensão 2\times3 (não é quadrada).