Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
\operatorname{tr}(B C)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos \operatorname{tr}(BC). As matrizes dadas são:
B=\begin{pmatrix}4 & -1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2\\[4pt]3 & 1 & 5\end{pmatrix}.
Vou listar as informações relevantes que tiramos do enunciado:
\;B é uma matriz de dimensão 2\times2.
\;C é uma matriz de dimensão 2\times3.
A tarefa é avaliar \operatorname{tr}(BC) ou explicar por que essa expressão não está definida.]

Passo 2

Primeiro, o que é a \operatorname{tr} (traço) de uma matriz? Seja uma matriz quadrada genérica \;M=(m_{ij}) de dimensão n\times n. O traço de M é definido por
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
ou seja, é a soma dos elementos da diagonal principal m_{11}+m_{22}+\cdots+m_{nn}. Importante: a definição de traço exige que a matriz seja quadrada (mesmo número de linhas e colunas). Se a matriz não for quadrada, a operação \operatorname{tr} não é definida no sentido usual.

Passo 3

Antes de tentar calcular o traço, precisamos saber se BC existe e qual é a sua dimensão. Regra do produto: se B é m\times p e C é p\times n, então BC é m\times n. Aqui temos B de dimensão 2\times2 e C de dimensão 2\times3. Portanto o produto BC está definido (porque o número de colunas de B é igual ao número de linhas de C) e sua dimensão será
BC:\;2\times3.
Como BC não é quadrada (tem 2 linhas e 3 colunas), por definição a função traço não se aplica a BC.

Passo 4

Para ilustrar e deixar tudo bem claro, vou calcular BC explicitamente (mesmo que o traço continue não sendo definido). Multiplicamos as linhas de B pelas colunas de C:
Primeira linha de B vezes primeira coluna de C:
4\cdot 1 + (-1)\cdot 3 = 4-3=1.
Primeira linha de B vezes segunda coluna de C:
4\cdot 4 + (-1)\cdot 1 = 16-1=15.
Primeira linha de B vezes terceira coluna de C:
4\cdot 2 + (-1)\cdot 5 = 8-5=3.
Segunda linha de B vezes primeira coluna de C:
0\cdot 1 + 2\cdot 3 = 0+6=6.
Segunda linha de B vezes segunda coluna de C:
0\cdot 4 + 2\cdot 1 = 0+2=2.
Segunda linha de B vezes terceira coluna de C:
0\cdot 2 + 2\cdot 5 = 0+10=10.
Assim obtemos
BC=\begin{pmatrix}1 & 15 & 3\\[4pt]6 & 2 & 10\end{pmatrix},
que confirma que BC é uma matriz 2\times3.]

Passo 5

Como \operatorname{tr} só é definido para matrizes quadradas e BC é 2\times3 (não quadrada), a expressão \operatorname{tr}(BC) não está definida no sentido padrão. Mesmo que exista uma “soma dos elementos da diagonal principal” parcial (por exemplo 1+2), isso não corresponde à definição de traço para matrizes não quadradas e não é aceito como \operatorname{tr}(BC).

Resposta

A expressão não está definida, pois BC tem dimensão 2\times3 (não é quadrada).

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