Problema 4 Considere as matrizes
A=\left[\begin{array}{cc}3 & 0 \\\\ -1 & 2 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 2 \\\\ 3 & 1 & 5\end{array}\right] \quad D=\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ 3 & 2 & 4\end{array}\right] \quad E=\left[\begin{array}{ccc}6 & 1 & 3 \\\\ -1 & 1 & 2 \\\\ 4 & 1 & 3\end{array}\right]
Em cada item, calcule a expressão dada, ou, caso contrário, explique por que ela não está definida.
\operatorname{tr}(D)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte expressão: \operatorname{tr}(D).
A matriz D fornecida no enunciado é
D=\begin{pmatrix} 1 & 5 & 2\\[4pt] -1 & 0 & 1\\[4pt] 3 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Informações relevantes: os elementos de D estão explícitos acima e a matriz tem 3 linhas e 3 colunas.]

Passo 2

Definição e ideia principal (aula rápida e prática): o traço de uma matriz quadrada é a soma dos seus elementos na diagonal principal. Em notação:
\operatorname{tr}(M)=\sum_{i=1}^{n} m_{ii},
onde M=(m_{ij}) é uma matriz n\times n e m_{ii} denota o elemento da i-ésima linha e i-ésima coluna (o elemento diagonal). Aqui, n é o número de linhas (ou colunas) da matriz. Isso funciona só quando a matriz é quadrada.

Passo 3

Verificação de existência: como D tem 3 linhas e 3 colunas, D é uma matriz quadrada 3\times 3 e portanto o traço \operatorname{tr}(D) está bem definido.

Passo 4

Identificação dos elementos da diagonal principal de D: são os elementos \,d_{11},d_{22},d_{33}\,. Lendo a matriz:
d_{11}=1,\qquad d_{22}=0,\qquad d_{33}=4.
Somando esses termos:
1+0+4=5.

Resposta

\operatorname{tr}(D)=5

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