8.4 No Problema 8.3, determine a intensidade da força \mathbf{P} para a qual a tensão normal de tração na barra A B tem a mesma intensidade da tensão de compressão da barra B C.

Passo 1

O enunciado que você me passou é: “No Problema 8.3, determine a intensidade da força \mathbf{P} para a qual a tensão normal de tração na barra A B tem a mesma intensidade da tensão de compressão da barra B C.”
O que essa frase pede (claramente):
  • Determinar a intensidade (módulo) da força \mathbf{P} que faz com que a tensão normal (axial) de tração em A B tenha a mesma magnitude da tensão normal de compressão em B C.
O que o enunciado NÃO traz (informações essenciais que estão faltando e que são necessárias para resolver numericamente):
  • A figura do Problema 8.3 (geometria do arranjo: posições de A, B, C, orientação das barras).
  • As dimensões ou ângulos das barras (por exemplo, ângulo entre A B e a horizontal, ângulo entre B C e a horizontal).
  • As áreas das seções transversais das barras A B e B C (por exemplo A_{AB} e A_{BC}).
  • Qual o tipo e a direção exata da força \mathbf{P} (aplicada em B? em outro ponto? direção vertical/horizontal/oblíqua?).
  • Se existem outras forças ou reações externas independentes de \mathbf{P} (por exemplo peso, suportes com reações conhecidas, etc.).
    Sem esses dados não é possível obter um valor numérico para \mathbf{P}. Vou agora explicar didaticamente como se resolve esse tipo de questão quando todos os dados estiverem presentes, para que você consiga aplicar o procedimento na prova.

Passo 2

Conceitos físicos e fórmulas básicas que vamos usar (aulas rápidas):
  • Tensão normal (axial) em uma barra: \displaystyle \sigma=\frac{N}{A}, onde:
    • \sigma é a tensão normal (positiva para tração, negativa para compressão, mas aqui só importa a magnitude);
    • N é a força axial interna na barra (valor positivo para tração se essa for a convenção; o sinal é questão de convenção);
    • A é a área da seção transversal da barra.
  • Igualdade de magnitudes pedida no enunciado: \frac{|N_{AB}|}{A_{AB}}=\frac{|N_{BC}|}{A_{BC}}.Se A_{AB}=A_{BC} isso reduz a |N_{AB}|=|N_{BC}|.
  • Forças internas em barras de uma estrutura estática (pinos/juntas): obtêm‑se por equilíbrio de forças no nó (método das juntas). Para um nó planar, aplicam‑se: \sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0.As forças dos membros agem ao longo de seus eixos; cada força tem componentes N\cos\theta e N\sin\theta conforme o ângulo do membro.

Passo 3

Como encontrar N_{AB} e N_{BC} em função de \mathbf{P} (procedimento genérico passo a passo):
  1. Fazer o diagrama de corpo livre do nó B (onde se encontram as barras). Indicar as forças internas nas barras N_{AB} e N_{BC} atuando ao longo de seus eixos (sentidos desconhecidos — assume tração positiva; o sinal final indica se é tração ou compressão).
  2. Decompor a força \mathbf{P} nas componentes \,P_x e P_y (valores positivos de acordo com o sistema de eixos escolhido).
  3. Escrever as equações de equilíbrio no nó B: N_{AB}\cos\theta_{AB} + N_{BC}\cos\theta_{BC} + P_x=0,
N_{AB}\sin\theta_{AB} + N_{BC}\sin\theta_{BC} + P_y=0,
onde \theta_{AB} e \theta_{BC} são os ângulos que as barras AB e BC fazem com o eixo x (medidos consistentemente).
4. Resolver esse sistema linear 2×2 para N_{AB} e N_{BC}. Usando regra de Cramer (explicando passo a passo):
  • Determinante do sistema: \Delta=\begin{vmatrix} \cos\theta_{AB} & \cos\theta_{BC}\\[4pt] \sin\theta_{AB} & \sin\theta_{BC} \end{vmatrix} =\sin(\theta_{AB}-\theta_{BC}).
  • Então, por Cramer: N_{AB}=-\frac{\begin{vmatrix}P_x & \cos\theta_{BC}\\[4pt]P_y & \sin\theta_{BC}\end{vmatrix}}{\Delta} =-\frac{P_x\sin\theta_{BC}-P_y\cos\theta_{BC}}{\sin(\theta_{AB}-\theta_{BC})},
N_{BC}=-\frac{\begin{vmatrix}\cos\theta_{AB} & P_x\\[4pt]\sin\theta_{AB} & P_y\end{vmatrix}}{\Delta} =-\frac{\cos\theta_{AB}P_y-\sin\theta_{AB}P_x}{\sin(\theta_{AB}-\theta_{BC})}.
Observação didática: essas expressões mostram que, em problemas simples com apenas \mathbf{P} aplicado, N_{AB} e N_{BC} são proporcionais a P_x e P_y, logo linearmente proporcionais ao módulo de \mathbf{P}.]

Passo 4

Como usar a igualdade de tensões para obter \mathbf{P}:
  • A condição pedida é \frac{|N_{AB}|}{A_{AB}}=\frac{|N_{BC}|}{A_{BC}}.Substituindo as expressões de N_{AB} e N_{BC} obtidas no Passo 3 obtém‑se uma equação envolvendo P_x e P_y (ou o módulo de \mathbf{P}, se a direção for conhecida), as áreas A_{AB}, A_{BC} e os ângulos \theta_{AB}, \theta_{BC}. Em geral isso leva a uma equação do tipo \frac{\big|\,\alpha_x P_x+\alpha_y P_y\,\big|}{A_{AB}}=\frac{\big|\,\beta_x P_x+\beta_y P_y\,\big|}{A_{BC}},onde \alpha_x,\alpha_y,\beta_x,\beta_y são funções dos ângulos (essas constantes vêm das fórmulas acima).
  • Dois casos importantes que convém notar:
    1. Se apenas \mathbf{P} for a carga externa e não houver outras forças fixas independentes de \mathbf{P}, então N_{AB} e N_{BC} são proporcionais a \mathbf{P}. Neste caso o fator P geralmente cancela na igualdade das tensões, e a condição se reduz a uma relação entre \theta_{AB},\theta_{BC},A_{AB},A_{BC}. Ou seja, a igualdade de tensões impõe uma condição geométrica/geomaterial, não um valor numérico para \mathbf{P}.
    2. Se houver outras forças conhecidas (por exemplo uma força vertical adicional, peso, reações impostas) então a igualdade de tensões pode resultar numa equação que permite determinar o módulo de \mathbf{P}.
  • Conclusão prática: para poder calcular numericamente P é preciso saber se o problema tem termos independentes de P ou os valores de \theta_{AB},\theta_{BC},A_{AB},A_{BC}. Sem esses dados, não há como obter um número.

Passo 5

Resumo prático — o que fazer na prova (passo a passo que você escreve na folha):
  1. Desenhar o diagrama de corpo livre do nó onde as barras se encontram (normalmente B).
  2. Indicar \mathbf{P} com direção conhecida (decompor se necessário).
  3. Escrever \sum F_x=0 e \sum F_y=0; expressar N_{AB} e N_{BC} pelas componentes ao longo dos eixos usando \cos e \sin.
  4. Resolver o sistema 2×2 para N_{AB} e N_{BC} (Cramer ou eliminação).
  5. Calcular tensões \sigma_{AB}=N_{AB}/A_{AB} e \sigma_{BC}=N_{BC}/A_{BC} (atentar ao sinal: tração/compressão).
  6. Impor |\sigma_{AB}|=|\sigma_{BC}| e resolver a equação resultante para o desconhecido (que pode ser \,P, ou uma relação entre áreas/ângulos, dependendo dos dados).
    Dica de amigo: organize o trabalho em etapas curtas (equilíbrio → solução para N → cálculo da tensão → igualdade de magnitudes). Se num caso o P cancela, não perca tempo tentando isolar P: isso significa que o enunciado está pedindo uma relação entre áreas/ângulos, não um valor de P.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a intensidade da força \mathbf{P} porque o enunciado do Problema 8.3 (figura, ângulos/posições das barras, áreas A_{AB} e A_{BC}, e a direção/ponto de aplicação de \mathbf{P}) não foi fornecido.

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