(1 ponto) Se a polia
de
de raio da secadora de roupas gira com uma aceleração angular
, onde
é dado em segundos, determine sua velocidade angular quando
, partindo do repouso. (Equivalente ao Problema 12.16 p. 260)
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que aparece):
- A polia
tem raio (ou seja, ). - A aceleração angular da polia é
, onde está em segundos. - A polia parte do repouso, ou seja, a velocidade angular inicial é
. - O que se pede: determinar a velocidade angular
para .
Observação: o raio foi fornecido no enunciado; anotar isso aqui é importante, mas a velocidade angular pedida não exige o uso do raio (o raio só seria necessário se pedissem velocidade linear na borda).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (com explicação bem didática):
- A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular com respeito ao tempo. Em termos matemáticos,
- Para obter
a partir de , integramos no tempo. Com a condição inicial conhecida, a fórmula de integração é
Explicação das notações:
-
é a variável de integração (uso para não confundir com o limite ). -
é a velocidade angular no instante inicial (aqui ).
Aqui temos
, então a fórmula fica simplesmente
Passo 3
Aplicando a fórmula com a função dada
. Vamos calcular a integral passo a passo:
Separando a integral em duas partes e integrando termo a termo:
Somando as duas contribuições:
Passo 4
Agora avalio a expressão em
:
Calculemos cuidadosamente:
Somando,
Pequeno comentário prático e motivador: esse valor é grande, mas faz sentido porque a aceleração angular cresce com
(o termo
domina para tempos maiores). Se, por curiosidade, quisesse a velocidade linear na borda da polia usar-se-ia
; convertendo
daria
(apenas para intuição — não era pedido).