(1 ponto) Se a polia A de 50 m m de raio da secadora de roupas gira com uma aceleração angular \alpha_{A}=\left(5+30 t^{2}\right) \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, onde t é dado em segundos, determine sua velocidade angular quando t=5 s, partindo do repouso. (Equivalente ao Problema 12.16 p. 260)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo que aparece):
  • A polia A tem raio 50\\ \mathrm{mm} (ou seja, r=50\\ \mathrm{mm}).
  • A aceleração angular da polia é \alpha_{A}(t)=\left(5+30t^{2}\right)\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}, onde t está em segundos.
  • A polia parte do repouso, ou seja, a velocidade angular inicial é \omega(0)=0.
  • O que se pede: determinar a velocidade angular \omega para t=5\\ \mathrm{s}.
Observação: o raio foi fornecido no enunciado; anotar isso aqui é importante, mas a velocidade angular pedida não exige o uso do raio (o raio só seria necessário se pedissem velocidade linear na borda).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (com explicação bem didática):
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular \omega(t) com respeito ao tempo. Em termos matemáticos,
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
  • Para obter \omega(t) a partir de \alpha(t), integramos \alpha no tempo. Com a condição inicial \omega(0) conhecida, a fórmula de integração é
\omega(t)=\omega(0)+\int_{0}^{t}\alpha(\tau)\,d\tau.
Explicação das notações:
  • \tau é a variável de integração (uso \tau para não confundir com o limite t).
  • \omega(0) é a velocidade angular no instante inicial (aqui 0).
Aqui temos \omega(0)=0, então a fórmula fica simplesmente
\omega(t)=\int_{0}^{t}\alpha(\tau)\,d\tau.

Passo 3

Aplicando a fórmula com a função dada \alpha(\tau)=5+30\tau^{2}. Vamos calcular a integral passo a passo:
\omega(t)=\int_{0}^{t}\bigl(5+30\tau^{2}\bigr)\,d\tau.
Separando a integral em duas partes e integrando termo a termo:
\int_{0}^{t}5\,d\tau = \bigl[5\tau\bigr]_{0}^{t}=5t,
\int_{0}^{t}30\tau^{2}\,d\tau = 30\cdot\bigl[\tfrac{\tau^{3}}{3}\bigr]_{0}^{t}=30\cdot\frac{t^{3}}{3}=10t^{3}.
Somando as duas contribuições:
\omega(t)=5t+10t^{3}.

Passo 4

Agora avalio a expressão em t=5\\ \mathrm{s}:
\omega(5)=5\cdot 5 + 10\cdot 5^{3}.
Calculemos cuidadosamente:
5\cdot 5 = 25,
5^{3}=125 \quad\text{e}\quad 10\cdot125=1250.
Somando,
\omega(5)=25+1250=1275\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Pequeno comentário prático e motivador: esse valor é grande, mas faz sentido porque a aceleração angular cresce com t^{2} (o termo 30t^{2} domina para tempos maiores). Se, por curiosidade, quisesse a velocidade linear na borda da polia usar-se-ia v=\omega r; convertendo r=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m} daria v=1275\cdot 0,05=63,75\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (apenas para intuição — não era pedido).

Resposta

1275\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados