(1 ponto) O cabo em B é puxado para baixo a
e a velocidade escalar está acelerando a razão de
também. Determine a velocidade e a aceleração do bloco
neste instante. (Equivalente ao Problema 12.205 p. 75)
Passo 1
O enunciado (do jeito que veio) nos dá isto:
- “O cabo em B é puxado para baixo a
e a velocidade escalar está acelerando à razão de também.” - Pede: determinar a velocidade e a aceleração do bloco
neste instante.
Informações que faltam e que são necessárias:
- Não foi enviada a figura do sistema (configuração das polias e como o cabo está ligado ao bloco
). - Sem essa figura NÃO há informação suficiente para obter uma única relação numérica entre o movimento de
e o de . Diferentes arranjos de polias produzem relações diferentes (por exemplo, em um caso, ou em outro).
Portanto não é possível determinar uma única resposta numérica sem conhecer exatamente a configuração do cabo/polias.
Passo 2
Conceito e método geral (como se resolve esse tipo de questão na prova).
- O cabo tem comprimento total constante; escrevemos uma equação de restrição do tipo
- Identificamos as coordenadas que descrevem o movimento dos corpos: por exemplo
para a posição vertical do bloco e para a posição do ponto (extremidade puxada). Convém adotar um sinal: aqui uso positivo para baixo (pode-se adotar outro, mas então ser consistente). - Diferenciando a equação de comprimento em relação ao tempo obtemos uma relação entre velocidades (derivadas primeiras):
- Diferenciando novamente obtemos relação entre acelerações:
- Em palavras: encontre quantos trechos do cabo “dependem” de
; cada trecho dá um termo proporcional a (ou ) na equação de restrição.
Passo 3
Exemplo 1 — caso mais simples: polia fixa (cabo preso a
num extremo e a
no outro, passando por uma polia fixa).
- Equação de comprimento (modelo simples): o comprimento dependente é
. - Diferenciando:
- Diferenciando de novo:
- Aplicando os dados (pegando o sentido para baixo como positivo):
e .
Interpretação dos sinais:
significa que
se move para cima a
(já que adotamos para baixo positivo).
Passo 4
Exemplo 2 — caso muito comum: polia móvel apoiando o bloco
com duas seções do cabo sustentando essa polia (o cabo passa por baixo da polia móvel e volta para cima, extremidade livre em
).
- Nesse arranjo, o comprimento dependente tem a forma
porque há duas seções do cabo que mudam quando se desloca. - Diferenciando:
- Diferenciando novamente:
- Aplicando os dados (
, ):
Significado:
sobe a
e sua aceleração é
para cima.
Passo 5
Regra prática (resumo rápido que ajuda na prova):
- Conte quantos trechos do cabo dependem da posição de
; esse número é o coeficiente que multiplica e na equação de restrição. Escreva a equação (ou versão correspondente) e diferencie para obter e . - Com
e conhecidos, resolva e . - Exemplos:
(polia fixa / cabo ligado diretamente) dá . (polia móvel com duas seções) dá .
Resposta
Não é possível determinar unicamente
e
sem a figura (configuração das polias). Exemplos possíveis:
Se a configuração for polia fixa (coeficiente ):
,
.
Se a configuração for polia móvel sustentando com duas seções do cabo (coeficiente
):
,
.
Se a configuração for polia fixa (coeficiente
Se a configuração for polia móvel sustentando