(1 ponto) O cabo em B é puxado para baixo a 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e a velocidade escalar está acelerando a razão de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} também. Determine a velocidade e a aceleração do bloco A neste instante. (Equivalente ao Problema 12.205 p. 75)

Passo 1

O enunciado (do jeito que veio) nos dá isto:
  • “O cabo em B é puxado para baixo a 2\\ \mathrm{m/s} e a velocidade escalar está acelerando à razão de 2\\ \mathrm{m/s^{2}} também.”
  • Pede: determinar a velocidade e a aceleração do bloco A neste instante.
Informações que faltam e que são necessárias:
  • Não foi enviada a figura do sistema (configuração das polias e como o cabo está ligado ao bloco A).
  • Sem essa figura NÃO há informação suficiente para obter uma única relação numérica entre o movimento de B e o de A. Diferentes arranjos de polias produzem relações diferentes (por exemplo, v_A = -v_B em um caso, ou v_A = -\tfrac{1}{2}v_B em outro).
    Portanto não é possível determinar uma única resposta numérica sem conhecer exatamente a configuração do cabo/polias.

Passo 2

Conceito e método geral (como se resolve esse tipo de questão na prova).
  • O cabo tem comprimento total constante; escrevemos uma equação de restrição do tipo
L = \text{(soma dos comprimentos dos trechos do cabo dependentes das posições dos corpos)} + \text{constantes}.çõ
  • Identificamos as coordenadas que descrevem o movimento dos corpos: por exemplo y_A para a posição vertical do bloco A e y_B para a posição do ponto B (extremidade puxada). Convém adotar um sinal: aqui uso y positivo para baixo (pode-se adotar outro, mas então ser consistente).
  • Diferenciando a equação de comprimento em relação ao tempo obtemos uma relação entre velocidades (derivadas primeiras):
\frac{d}{dt}(L)=0 \quad\Rightarrow\quad\text{combinação linear das velocidades }v_A,\\ v_B,\dots = 0.çã
  • Diferenciando novamente obtemos relação entre acelerações:
\frac{d^2}{dt^2}(L)=0 \quad\Rightarrow\quad\text{combinação linear das acelerações }a_A,\\ a_B,\dots = 0.çãçõ
  • Em palavras: encontre quantos trechos do cabo “dependem” de y_A; cada trecho dá um termo proporcional a v_A (ou a_A) na equação de restrição.

Passo 3

Exemplo 1 — caso mais simples: polia fixa (cabo preso a A num extremo e a B no outro, passando por uma polia fixa).
  • Equação de comprimento (modelo simples): o comprimento dependente é L = y_A + y_B + \text{const}.
  • Diferenciando:
v_A + v_B = 0 \quad\Rightarrow\quad v_A = -v_B.
  • Diferenciando de novo:
a_A + a_B = 0 \quad\Rightarrow\quad a_A = -a_B.
  • Aplicando os dados (pegando o sentido para baixo como positivo): v_B=+2\\ \mathrm{m/s} e a_B=+2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
v_A = -2\\ \mathrm{m/s},\qquad a_A = -2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação dos sinais: v_A=-2\\ \mathrm{m/s} significa que A se move para cima a 2\\ \mathrm{m/s} (já que adotamos para baixo positivo).

Passo 4

Exemplo 2 — caso muito comum: polia móvel apoiando o bloco A com duas seções do cabo sustentando essa polia (o cabo passa por baixo da polia móvel e volta para cima, extremidade livre em B).
  • Nesse arranjo, o comprimento dependente tem a forma L = 2y_A + y_B + \text{const} porque há duas seções do cabo que mudam quando A se desloca.
  • Diferenciando:
2v_A + v_B = 0 \quad\Rightarrow\quad v_A = -\tfrac{1}{2}v_B.
  • Diferenciando novamente:
2a_A + a_B = 0 \quad\Rightarrow\quad a_A = -\tfrac{1}{2}a_B.
  • Aplicando os dados ( v_B=+2\\ \mathrm{m/s}, a_B=+2\\ \mathrm{m/s^{2}}):
v_A = -1\\ \mathrm{m/s},\qquad a_A = -1\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Significado: A sobe a 1\\ \mathrm{m/s} e sua aceleração é 1\\ \mathrm{m/s^2} para cima.

Passo 5

Regra prática (resumo rápido que ajuda na prova):
  • Conte quantos trechos do cabo dependem da posição de A; esse número é o coeficiente que multiplica v_A e a_A na equação de restrição. Escreva a equação n\,y_A + y_B = \text{const} (ou versão correspondente) e diferencie para obter n\,v_A + v_B =0 e n\,a_A + a_B =0.
  • Com v_B e a_B conhecidos, resolva v_A = -\dfrac{1}{n}v_B e a_A = -\dfrac{1}{n}a_B.
  • Exemplos: n=1 (polia fixa / cabo ligado diretamente) dá v_A=-v_B. n=2 (polia móvel com duas seções) dá v_A=-\tfrac{1}{2}v_B.

Resposta

Não é possível determinar unicamente v_A e a_A sem a figura (configuração das polias). Exemplos possíveis:
Se a configuração for polia fixa (coeficiente n=1): v_A=-2\\ \mathrm{m/s}, a_A=-2\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Se a configuração for polia móvel sustentando A com duas seções do cabo (coeficiente n=2): v_A=-1\\ \mathrm{m/s}, a_A=-1\\ \mathrm{m/s^{2}}.

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