Problema 5) O espectrômetro de raios X instalado a bordo de um satélite determina que o comprimento de onda da radiação emitida por uma certa estrela para o qual a intensidade é máxima é \lambda_{m}=82,8 \mathrm{~nm}. Supondo que a estrela se comporta como um corpo negro, determine
(c) a razão entre as intensidades do espectro para \lambda=100 \mathrm{~nm} e \lambda=\lambda_{m}.

Passo 1

O enunciado dá o comprimento de onda no qual a emissão da estrela (assumida corpo negro) é máxima: \lambda_{m}=82,8\\ \mathrm{nm}. Pede-se a razão entre as intensidades do espectro (densidade espectral por comprimento de onda) para \lambda=100\\ \mathrm{nm} e para \lambda=\lambda_{m}, ou seja:
\text{achar}\quad \frac{I(100\\ \mathrm{nm})}{I(\lambda_{m})}.
Informações relevantes fornecidas:
  • \lambda_{m}=82{,}8\\ \mathrm{nm}.
  • Quer-se a razão I(\lambda=100\\ \mathrm{nm})/I(\lambda=\lambda_{m}).
    Nada mais foi fornecido — a estrela é tratada como corpo negro.

Passo 2

Vamos escrever a expressão que descreve a intensidade espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda (a função de Planck). A densidade espectral de intensidade (radiância) por unidade de comprimento de onda é dada por
B(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\cdot\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k T}}-1},
onde:
  • B(\lambda,T) é a intensidade por unidade de comprimento de onda em \lambda para temperatura T;
  • h é a constante de Planck ( h\approx6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s});
  • c é a velocidade da luz ( c\approx3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s});
  • k é a constante de Boltzmann ( k\approx1{,}381\times10^{-23}\\ \mathrm{J/K});
  • T é a temperatura do corpo negro;
  • o expoente \dfrac{hc}{\lambda k T} é uma quantidade adimensional que controla a parte exponencial.
Explicando em palavras: a primeira fração \dfrac{2hc^{2}}{\lambda^{5}} é a contribuição “geométrica” que cresce muito quando \lambda diminui; o fator \dfrac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1} corta essa tendência para comprimentos de onda muito pequenos devido ao termo exponencial.

Passo 3

Queremos a razão B(100\\ \mathrm{nm},T)/B(\lambda_{m},T). Substituindo a fórmula de Planck e cancelando constantes que aparecem em ambos os termos, obtemos
\frac{B(100\\ \mathrm{nm},T)}{B(\lambda_{m},T)} = \left(\frac{\lambda_{m}}{100\\ \mathrm{nm}}\right)^{5}\, \frac{e^{\frac{hc}{\lambda_{m} k T}}-1}{e^{\frac{hc}{(100\\ \mathrm{nm}) k T}}-1}.
Note que a razão depende da temperatura T através dos expoentes hc/(\lambda kT). Porém podemos eliminar T usando o fato de que \lambda_{m} é o máximo do espectro: \lambda_{m} e T estão relacionados pela lei de deslocamento de Wien.

Passo 4

A lei de Wien no formato comprimento de onda diz que
\lambda_{m}\,T=b,
onde b\approx2{,}89777\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}. Uma maneira mais direta e elegante aqui é trabalhar com a variável adimensional
x\equiv\frac{hc}{\lambda k T}.
Para o máximo em \lambda (ou seja, em \lambda_{m}) a solução do problema de otimização dá um valor fixo
x_{m}\equiv\frac{hc}{\lambda_{m}kT}\approx4{,}965114231\ldots
Esse número x_{m} é universal (independe de T e \lambda_{m} isoladamente) porque o máximo da forma de Planck em \lambda ocorre quando esse adimensional atinge esse valor. Logo sabemos que
\frac{hc}{\lambda_{m}kT}=x_{m}.
Para outro comprimento de onda \lambda vale
\frac{hc}{\lambda k T}=x_{m}\,\frac{\lambda_{m}}{\lambda},
pois hc/(kT) é constante para a estrela e depende só de \lambda_{m}T.
Essa observação permite calcular os exponenciais sem precisar obter T explicitamente.

Passo 5

Agora aplicamos isso ao nosso caso com \lambda_{m}=82{,}8\\ \mathrm{nm} e \lambda=100\\ \mathrm{nm}.
Primeiro calcule a razão dos comprimentos de onda:
\frac{\lambda_{m}}{100\\ \mathrm{nm}}=\frac{82{,}8}{100}=0{,}828.
Em seguida os argumentos adimensionais:
x_{m}\approx4{,}965114231, \qquad x_{100}=x_{m}\frac{\lambda_{m}}{100\\ \mathrm{nm}}=4{,}965114231\times0{,}828\approx4{,}111114583.

Passo 6

Voltando à expressão da razão, temos
\frac{B(100\\ \mathrm{nm})}{B(\lambda_{m})} = (0{,}828)^{5}\, \frac{e^{x_{m}}-1}{e^{x_{100}}-1}.
Calculemos cada fator numericamente (vou mostrar os passos aproximados, para que você consiga reproduzir à mão com boa precisão):
  • Potência: (0{,}828)^{5}\approx0{,}38918105.
  • Exponenciais: e^{x_{m}}\approx e^{4{,}965114}\approx143{,}325\quad\Rightarrow\quad e^{x_{m}}-1\approx142{,}325.
e^{x_{100}}\approx e^{4{,}111115}\approx61{,}014\quad\Rightarrow\quad e^{x_{100}}-1\approx60{,}014.
(Aqui usei aproximações por séries ou por o conhecimento de e^{4}, e^{5} e pequenos deslocamentos; o importante é manter algumas casas decimais para precisão.)

Passo 7

Agora juntamos os números:
\frac{e^{x_{100}}-1}{e^{x_{m}}-1}\approx\frac{60{,}014}{142{,}325}\approx0{,}421646,
e portanto
\frac{B(100\\ \mathrm{nm})}{B(\lambda_{m})}\approx0{,}38918105\times0{,}421646\approx0{,}16410.
Arredondando de forma prática para a prova, podemos apresentar a razão com três algarismos significativos.

Passo 8

Interpretação rápida e dica para prova: a intensidade em 100\\ \mathrm{nm} é bem menor que a intensidade máxima em \lambda_{m}=82{,}8\\ \mathrm{nm}. O procedimento usado evita calcular a temperatura da estrela explicitamente porque usamos o valor universal x_{m} que caracteriza o máximo do espectro em função de \lambda. Isso é útil em prova — sempre que der para trabalhar com variáveis adimensionais, elimina-se T e as constantes.

Resposta

0,164

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