Problema 5) O espectrômetro de raios
instalado a bordo de um satélite determina que o comprimento de onda da radiação emitida por uma certa estrela para o qual a intensidade é máxima é
. Supondo que a estrela se comporta como um corpo negro, determine
(c) a razão entre as intensidades do espectro para
e
.
Passo 1
O enunciado dá o comprimento de onda no qual a emissão da estrela (assumida corpo negro) é máxima:
. Pede-se a razão entre as intensidades do espectro (densidade espectral por comprimento de onda) para
e para
, ou seja:
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Quer-se a razão
.
Nada mais foi fornecido — a estrela é tratada como corpo negro.
Passo 2
Vamos escrever a expressão que descreve a intensidade espectral de um corpo negro por unidade de comprimento de onda (a função de Planck). A densidade espectral de intensidade (radiância) por unidade de comprimento de onda é dada por
onde:
-
é a intensidade por unidade de comprimento de onda em para temperatura ; -
é a constante de Planck ( ); -
é a velocidade da luz ( ); -
é a constante de Boltzmann ( ); -
é a temperatura do corpo negro; - o expoente
é uma quantidade adimensional que controla a parte exponencial.
Explicando em palavras: a primeira fração
é a contribuição “geométrica” que cresce muito quando
diminui; o fator
corta essa tendência para comprimentos de onda muito pequenos devido ao termo exponencial.
Passo 3
Queremos a razão
. Substituindo a fórmula de Planck e cancelando constantes que aparecem em ambos os termos, obtemos
Note que a razão depende da temperatura
através dos expoentes
. Porém podemos eliminar
usando o fato de que
é o máximo do espectro:
e
estão relacionados pela lei de deslocamento de Wien.
Passo 4
A lei de Wien no formato comprimento de onda diz que
onde
. Uma maneira mais direta e elegante aqui é trabalhar com a variável adimensional
Para o máximo em
(ou seja, em
) a solução do problema de otimização dá um valor fixo
Esse número
é universal (independe de
e
isoladamente) porque o máximo da forma de Planck em
ocorre quando esse adimensional atinge esse valor. Logo sabemos que
Para outro comprimento de onda
vale
pois
é constante para a estrela e depende só de
.
Essa observação permite calcular os exponenciais sem precisar obter
explicitamente.
Passo 5
Agora aplicamos isso ao nosso caso com
e
.
Primeiro calcule a razão dos comprimentos de onda:
Em seguida os argumentos adimensionais:
Passo 6
Voltando à expressão da razão, temos
Calculemos cada fator numericamente (vou mostrar os passos aproximados, para que você consiga reproduzir à mão com boa precisão):
- Potência:
- Exponenciais:
(Aqui usei aproximações por séries ou por o conhecimento de
,
e pequenos deslocamentos; o importante é manter algumas casas decimais para precisão.)
Passo 7
Agora juntamos os números:
e portanto
Arredondando de forma prática para a prova, podemos apresentar a razão com três algarismos significativos.
Passo 8
Interpretação rápida e dica para prova: a intensidade em
é bem menor que a intensidade máxima em
. O procedimento usado evita calcular a temperatura da estrela explicitamente porque usamos o valor universal
que caracteriza o máximo do espectro em função de
. Isso é útil em prova — sempre que der para trabalhar com variáveis adimensionais, elimina-se
e as constantes.