Problema 9) Conisderando a produçäo de raios X como um processo inverso ao efeito fotoelétrico, responda aos itens a seguir:
(b) Qual é o comprimento de onda mínimo dos raios X produzidos em um tubo de raios X submetido a 30.0 kV ?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (já peguei estes valores do enunciado):
  • Tensão de aceleração: V = 30{,}0\\ \mathrm{kV}.
  • Pergunta: qual é o comprimento de onda mínimo \lambda_{\min} dos raios X produzidos pelo tubo submetido a essa tensão?

Passo 2

Ideia física e fórmula principal (passo-a-passo, sem pular etapas):
  • Um elétron acelerado por uma diferença de potencial V ganha energia cinética máxima igual a eV, onde:
    • e é a carga elementar (unidade: coulomb, \mathrm{C});
    • V é a tensão (unidade: volt, \mathrm{V}).
  • Se todo esse gasto energético for convertido em um único fóton (caso extremo que determina o comprimento de onda mínimo), a energia do fóton é dada por E_{\text{fóton}} = \dfrac{hc}{\lambda}ó, onde:
    • h é a constante de Planck (unidade: \mathrm{J\cdot s});
    • c é a velocidade da luz (unidade: \mathrm{m/s});
    • \lambda é o comprimento de onda do fóton (unidade: \mathrm{m}).
  • Igualando as energias no caso extremo:
eV = \frac{hc}{\lambda_{\min}}
  • Daí isolamos \lambda_{\min}:
\lambda_{\min} = \frac{hc}{eV}.
  • Explicando as unidades: hc tem unidade \mathrm{J\cdot m}, eV tem unidade \mathrm{J}, então a razão dá \mathrm{m} — perfeito para comprimento de onda.

Passo 3

Escolhendo constantes e formas práticas para calcular sem muita dor:
  • Valores numéricos úteis (valores definidos comumente):
    • h = 6{,}62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
    • c = 2{,}99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    • e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
  • Produto hc em unidades convenientes: hc = 6{,}62607015\times10^{-34}\cdot 2{,}99792458\times10^{8} = 1{,}98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
  • Energia do elétron acelerado: eV = e\cdot V = 1{,}602176634\times10^{-19}\cdot (30{,}0\times10^{3}) = 4{,}80652990\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
  • Agora a divisão para \lambda_{\min}: \lambda_{\min} = \frac{1{,}98644586\times10^{-25}}{4{,}80652990\times10^{-15}} = 4{,}1333\dots\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Um atalho prático muito usado (útil na prova): \,hc\approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}.
  • Nesse caso, com V em \mathrm{kV} vale a forma direta:
\lambda_{\min}\\ (\mathrm{nm}) \approx \frac{1{,}240}{V\\ (\mathrm{keV})}.
  • Para V=30{,}0\\ \mathrm{kV}=30{,}0\\ \mathrm{keV}:
\lambda_{\min} = \frac{1{,}240}{30{,}0} = 0{,}041333\ldots\\ \mathrm{nm}.
  • Convertendo para metros:
0{,}041333\\ \mathrm{nm} = 0{,}041333\times10^{-9}\\ \mathrm{m} = 4{,}1333\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
  • Arredondando com base em V com três algarismos significativos ( 30{,}0\\ \mathrm{kV}), damos a resposta com três algarismos significativos:
\lambda_{\min}\approx 4{,}13\times10^{-11}\\ \mathrm{m}\quad(\text{ou }0{,}0413\\ \mathrm{nm}).

Resposta

\lambda_{\min}=4{,}13\times10^{-11}\\ \mathrm{m}

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