Problema 1 A função posição x(t) de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada por x=5 t^3-3 t, onde istá cm metros e t cm segundos. ( 2.5 pts )
(a) Qual a velocidade média durante o intervalo de tempo t=2,0 s a t=3,0 s ? ( 0.7 pts )
(b) Determine a funçāo velocidade e aceleração dessa partícula. ( 0.4 pts )
(c) Qual a velocidade instantânea em t=2,0 s ? E em t=3,0 s ? Compare ambos os resultados com o item (a). informando quando a velocidade é maior ou menor para cada instante em relação a velocidade média. ( 0.6 pts )
(d) Em que instante a partícula está momentaneaneite am repouso? Qual sua posiçāo nesse instante? ( 0.4 pts )
(e) Em que instante a aceleração a partícula é mula? Qual sıa posiçāo nesse instante? ( 0.4 pts )

Passo 1

A função de posição é dada por x(t)=5t^3-3t, com x em metros e t em segundos. O conteúdo envolve cinemática unidimensional: velocidade média, derivação para obter velocidade v(t) e aceleração a(t), além de achar instantes em que v=0 ou a=0.

Passo 2

Para o item (a), a velocidade média entre t1=2,0,s e t2=3,0,s é definida por
vmédia=x(t2)-x(t1)t2-t1 é
Calculando x(2)=5cdot2^3-3cdot2=34,m e x(3)=5cdot3^3-3cdot3=126,m, temos
vmédia=126-343-2=92,m/s é

Passo 3

Para o item (b), usamos derivadas: a velocidade é
v(t)=dxdt=15t^2-3,
e a aceleração é
a(t)=dvdt=30t

Passo 4

No item (c) a velocidade instantânea é v(t)=15t^2-3. Assim:
v(2)=15cdot2^2-3=57,m/s,
v(3)=15cdot3^2-3=132,m/s
Comparando com vmédia=92,m/sé: em t=2 a velocidade instantânea (57) é menor, e em t=3 (132) é maior.

Passo 5

Para o item (d), achamos quando v(t)=0:
15t^2-3=0implies t^2=tfrac15implies t=1raiz5approx0,447,s
A posição nesse instante é
xl(tfrac1raiz5r)=5l(tfrac1raiz5r)^3-3l(tfrac1raiz5r)=-2raiz5approx-0,894,m

Passo 6

No item (e), a aceleração zera quando a(t)=30t=0, ou seja t=0. A posição em t=0 é
x(0)=0

Resposta

a) 92 m/s
b) v(t)=15t^2−3, a(t)=30t
c) v(2)=57 m/s (<92 m/s), v(3)=132 m/s (>92 m/s)
d) t=1/√5≈0,447 s, x=−2/√5≈−0,894 m
e) t=0 s, x=0 m

Exercícios relacionados