No problema de Kepler, mostre que, para órbitas elípticas, a relação entre r e t pode ser posta na forma
t=\sqrt{\frac{m}{2}} \int_{r_{\text {min }}}^{r} \frac{d r}{\sqrt{E+\frac{\kappa}{r}-\frac{l^{2}}{2 m r^{2}}}}=\sqrt{\frac{m}{2 \kappa}} \int_{r_{\text {min }}}^{r} \frac{r d r}{\sqrt{r-\frac{r^{2}}{2 a}-\frac{a\left(1-e^{2}\right)}{2}}}
onde a é o semi-eixo maior, e é a excentricidade e t=0 foi escolhido no momento de passagem do planeta pelo periélio. Mostre que, em termos do ângulo \psi conhecido como anomalia excêntrica e definido por r=a(1-e \cos \psi), tem-se
\omega t=\psi-e \operatorname{sen} \psi,

Passo 1

Temos o problema de Kepler para órbitas elípticas, em que o tempo desde o periélio é dado pela integral
t=\sqrt{\frac{m}{2\kappa}}\int_{r_{\min}}^{r}\frac{r\,dr}{\sqrt{\,r-\frac{r^{2}}{2a}-\frac{a(1-e^{2})}{2}\,}}
com a semi-eixo maior, e excentricidade e r_{\min}=a(1-e). Queremos mostrar que, usando a anomalia excêntrica \psi definida por
r = a\bigl(1 - e\cos\psi\bigr),
o tempo satisfaz a famosa equação de Kepler
\omega\,t = \psi - e\sin\psi,
onde
\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{m\,a^{3}}}\,.

Passo 2

Primeiro, confirmamos que a expressão do integrando vem de
E=-\frac{\kappa}{2a}, \quad \frac{l^{2}}{2m}=\frac{\kappa\,a\,(1-e^{2})}{2},
substituídas em
E+\frac{\kappa}{r}-\frac{l^{2}}{2m\,r^{2}} =-\frac{\kappa}{2a}+\frac{\kappa}{r}-\frac{\kappa\,a(1-e^{2})}{2r^{2}}
e, com um pouco de álgebra, chega-se ao radicando
r-\frac{r^{2}}{2a}-\frac{a(1-e^{2})}{2}.

Passo 3

Façamos a mudança de variável
r = a\bigl(1 - e\cos\psi\bigr) \quad\Longrightarrow\quad dr = a\,e\sin\psi\,d\psi.
Agora calculamos dentro da raiz:
r-\frac{r^{2}}{2a}-\frac{a(1-e^{2})}{2} = a(1-e\cos\psi) -\frac{a\,(1-e\cos\psi)^{2}}{2} -\frac{a(1-e^{2})}{2}.
Colocando em evidência e expandindo, verifica-se que tudo se reduz a
\frac{a\,e^{2}\sin^{2}\psi}{2}.

Passo 4

Substituindo em t:
t =\sqrt{\frac{m}{2\kappa}} \int_{0}^{\psi} \frac{r\,dr}{\sqrt{\dfrac{a\,e^{2}\sin^{2}\psi}{2}}} =\sqrt{\frac{m}{2\kappa}} \int_{0}^{\psi} \frac{a(1-e\cos\psi)\,(a\,e\sin\psi\,d\psi)} {e\sqrt{\tfrac{a}{2}}\;\sin\psi}.
Simplificando e\sin\psi e fatorizando, obtemos
t =\sqrt{\frac{m}{2\kappa}}\;\;a^{2}\;\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} \int_{0}^{\psi}\!(1-e\cos\psi)\,d\psi =a^{3/2}\sqrt{\frac{m}{\kappa}} \bigl[\psi - e\sin\psi\bigr].

Passo 5

Definindo o “movimento médio”
\omega = \sqrt{\frac{\kappa}{m\,a^{3}}},
vemos que
\omega\,t =\psi - e\sin\psi,
que é exatamente a equação de Kepler para órbitas elípticas.

Resposta

\boxed{\omega\,t = \psi - e\sin\psi.}

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