No problema de Kepler, mostre que, para órbitas elípticas, a relação entre
e
pode ser posta na forma
onde
é o semi-eixo maior,
é a excentricidade e
foi escolhido no momento de passagem do planeta pelo periélio. Mostre que, em termos do ângulo
conhecido como anomalia excêntrica e definido por
, tem-se
Passo 1
Temos o problema de Kepler para órbitas elípticas, em que o tempo desde o periélio é dado pela integral
com
semi-eixo maior,
excentricidade e
. Queremos mostrar que, usando a anomalia excêntrica
definida por
o tempo satisfaz a famosa equação de Kepler
onde
Passo 2
Primeiro, confirmamos que a expressão do integrando vem de
substituídas em
e, com um pouco de álgebra, chega-se ao radicando
Passo 3
Façamos a mudança de variável
Agora calculamos dentro da raiz:
Colocando em evidência e expandindo, verifica-se que tudo se reduz a
Passo 4
Substituindo em
:
Simplificando
e fatorizando, obtemos
Passo 5
Definindo o “movimento médio”
vemos que
que é exatamente a equação de Kepler para órbitas elípticas.