Um pêndulo de massa m e comprimento l está suspenso por un ponto que executa oscilações horizontais da forma x=a \cos \omega t. Obtenha a lagrangiana em termos
do ângulo \theta que o fio faz com a direção vertical orientada para baixo. Escreva a equação de movimento e mostre que, para pequenos valores de \theta, ela reduz-se à de um oscilador harmônico forçado. Encontre uma solução estacionária da forma \theta=\theta_{0} \cos \omega t. Como a amplitude \theta_{0} depende de m, l, a e \omega ? O que acontece quando \omega=(g / l)^{1 / 2} ?

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo de massa m e comprimento l cuja suspensão oscila horizontalmente segundo
x_{\mathrm{p}}(t)=a\cos\omega t.
O grau de liberdade escolhido é o ângulo \theta que o fio faz com a vertical (orientada para baixo).
Conteúdo: Lagrangiana em coordenada única \theta, obtenção da equação de movimento via equação de Lagrange e, em seguida, linearização para pequenos \theta levando a um oscilador harmônico forçado e cálculo da solução estacionária.

Passo 2

Escolhemos as coordenadas do ponto material no referencial fixo em que o pivô descreve x_{\mathrm{p}}(t).
A posição é
x(t)=x_{\mathrm{p}}(t)+l\sin\theta \quad\text{e}\quad y(t)=-\,l\cos\theta.
As velocidades são
\dot x=-a\omega\sin\omega t + l\,\dot\theta\cos\theta, \quad \dot y=l\,\dot\theta\sin\theta.
Logo, a energia cinética
T=\tfrac12 m\bigl(\dot x^2+\dot y^2\bigr) =\tfrac12 m\Bigl[l^2\dot\theta^2 -2\,a l\,\omega\,\dot\theta\cos\theta\sin\omega t +a^2\omega^2\sin^2\omega t\Bigr]
e a potencial gravitacional (tomando V=0 em \theta=0)
V=mgy=m g\,(-l\cos\theta)=-m g l\cos\theta.
A Lagrangiana é
L=T-V =\tfrac12 m\Bigl[l^2\dot\theta^2 -2\,a l\,\omega\,\dot\theta\cos\theta\sin\omega t +a^2\omega^2\sin^2\omega t\Bigr] + m g l\cos\theta.

Passo 3

Aplicando a equação de Lagrange
\frac{\d}{\d t}\bigl(\partial L/\partial\dot\theta\bigr) -\partial L/\partial\theta=0
resulta, após simplificar termos, em
m\,l^2\,\ddot\theta - m\,a\,l\,\omega^2\cos\theta\cos\omega t + m\,g\,l\sin\theta =0.
Dividindo por m\,l obtemos a equação de movimento exata
\boxed{ \ddot\theta+\frac{g}{l}\,\sin\theta =\frac{a}{l}\,\omega^2\cos\theta\;\cos\omega t. }

Passo 4

Para pequenos \theta usamos \sin\theta\approx\theta e \cos\theta\approx1. A equação fica
\ddot\theta+\frac{g}{l}\,\theta =\frac{a}{l}\,\omega^2\cos\omega t,
que é exatamente a de um oscilador harmônico forçado com frequência natural \sqrt{g/l}.

Passo 5

Procuramos uma solução estacionária do tipo
\theta(t)=\theta_{0}\cos\omega t.
Substituindo em \ddot\theta+\tfrac{g}{l}\theta=\tfrac{a}{l}\omega^2\cos\omega t
-\theta_{0}\,\omega^2\cos\omega t +\frac{g}{l}\,\theta_{0}\cos\omega t =\frac{a}{l}\,\omega^2\cos\omega t.
Cancelando \cos\omega t obtemos
\theta_{0}\Bigl(\frac{g}{l}-\omega^2\Bigr) =\frac{a}{l}\,\omega^2 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{ \theta_{0} =\frac{a\,\omega^2}{\,g - l\,\omega^2\,}. }
Note que \theta_{0} independe de m. Quando \omega=\sqrt{g/l} o denominador zera e ocorre ressonância, isto é, a amplitude tende a divergir.

Resposta

L=\tfrac12 m\bigl[l^2\dot\theta^2 -2a l\,\omega\,\dot\theta\cos\theta\sin\omega t +a^2\omega^2\sin^2\omega t\bigr] + m g l\cos\theta,
\ddot\theta+\frac{g}{l}\sin\theta =\frac{a}{l}\,\omega^2\cos\theta\cos\omega t,
para pequenos \theta:
\ddot\theta+\frac{g}{l}\theta =\frac{a}{l}\omega^2\cos\omega t,
solução estacionária \theta=\theta_{0}\cos\omega t com
\theta_{0} =\frac{a\,\omega^2}{g - l\,\omega^2},
e ressonância em \omega=\sqrt{g/l}.

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