Um pêndulo de massa
e comprimento
está suspenso por un ponto que executa oscilações horizontais da forma
. Obtenha a lagrangiana em termos
do ângulo
que o fio faz com a direção vertical orientada para baixo. Escreva a equação de movimento e mostre que, para pequenos valores de
, ela reduz-se à de um oscilador harmônico forçado. Encontre uma solução estacionária da forma
. Como a amplitude
depende de
e
? O que acontece quando
?
do ângulo
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo de massa
e comprimento
cuja suspensão oscila horizontalmente segundo
O grau de liberdade escolhido é o ângulo
que o fio faz com a vertical (orientada para baixo).
Conteúdo: Lagrangiana em coordenada única , obtenção da equação de movimento via equação de Lagrange e, em seguida, linearização para pequenos
levando a um oscilador harmônico forçado e cálculo da solução estacionária.
Conteúdo: Lagrangiana em coordenada única
Passo 2
Escolhemos as coordenadas do ponto material no referencial fixo em que o pivô descreve
.
A posição é
A posição é
As velocidades são
Logo, a energia cinética
e a potencial gravitacional (tomando
em
)
A Lagrangiana é
Passo 3
Aplicando a equação de Lagrange
resulta, após simplificar termos, em
Dividindo por
obtemos a equação de movimento exata
Passo 4
Para pequenos
usamos
e
. A equação fica
que é exatamente a de um oscilador harmônico forçado com frequência natural
.
Passo 5
Procuramos uma solução estacionária do tipo
Substituindo em
dá
Cancelando
obtemos
Note que
independe de
. Quando
o denominador zera e ocorre ressonância, isto é, a amplitude tende a divergir.
Resposta
para pequenos
:
solução estacionária
com
e ressonância em
.