Um bloco de massa
desliza sem atrito ao longo de uma cunha de massa
e ângulo
. A cunha, por sua vez, escorrega sem atrito sobre uma superficie horizontal.
(i) Escolhendo coordenadas generalizadas convenientes, obtenha a lagrangiana e as equações de movimento do sistema. (ii) Determine a aceleração da cunha relativamente ao sistema de referência inercial
. (iii) Determine a aceleração do bloco em relação à cunha.
(i) Escolhendo coordenadas generalizadas convenientes, obtenha a lagrangiana e as equações de movimento do sistema. (ii) Determine a aceleração da cunha relativamente ao sistema de referência inercial
Passo 1
Temos um bloco de massa
que desliza sem atrito ao longo de uma cunha de massa
e ângulo
. A cunha escorrega sem atrito sobre uma superfície horizontal. Vamos usar Lagrange para escrever a lagrangiana em dois graus de liberdade: a posição horizontal da cunha
e a posição do bloco ao longo da rampa
(medido para baixo desde o vértice).
Passo 2
Expressamos as coordenadas cartesianas do bloco no referencial inercial:
onde
é a altura inicial (constante que não entra em Lagrange). As velocidades são
A energia cinética total é
A energia potencial gravitacional do bloco é
Desprezando a constante, a lagrangiana
fica
Passo 3
Escrevemos as equações de Lagrange para
e
.
Para
:
logo
Para
:
logo
Passo 4
Temos o sistema
Da primeira equação,
Substituindo na segunda:
Como
, segue
Em seguida,
Resposta
(i) Lagrangiana e equações de movimento:
(ii) Aceleração da cunha no referencial inercial (eixo
positivo para a direita):
(iii) Aceleração do bloco em relação à cunha (para baixo ao longo da rampa):