Um bloco de massa m desliza sem atrito ao longo de uma cunha de massa M e ângulo \alpha. A cunha, por sua vez, escorrega sem atrito sobre uma superficie horizontal.
(i) Escolhendo coordenadas generalizadas convenientes, obtenha a lagrangiana e as equações de movimento do sistema. (ii) Determine a aceleração da cunha relativamente ao sistema de referência inercial (x, y). (iii) Determine a aceleração do bloco em relação à cunha.

Passo 1

Temos um bloco de massa m que desliza sem atrito ao longo de uma cunha de massa M e ângulo \alpha. A cunha escorrega sem atrito sobre uma superfície horizontal. Vamos usar Lagrange para escrever a lagrangiana em dois graus de liberdade: a posição horizontal da cunha x e a posição do bloco ao longo da rampa r (medido para baixo desde o vértice).

Passo 2

Expressamos as coordenadas cartesianas do bloco no referencial inercial:
X = x + r\cos\alpha, \quad Y = h_0 - r\sin\alpha,
onde h_0 é a altura inicial (constante que não entra em Lagrange). As velocidades são
\dot X = \dot x + \dot r\cos\alpha, \quad \dot Y = -\dot r\sin\alpha.
A energia cinética total é
T = \tfrac12 M\dot x^2 + \tfrac12 m\bigl((\dot x + \dot r\cos\alpha)^2 + (\dot r\sin\alpha)^2\bigr) =\tfrac12(M+m)\dot x^2 + m\dot x\,\dot r\cos\alpha + \tfrac12m\dot r^2.
A energia potencial gravitacional do bloco é
V = m g Y = m g(h_0 - r\sin\alpha)=\text{constante}-m g r\sin\alpha.
Desprezando a constante, a lagrangiana L=T-V fica
L = \tfrac12(M+m)\dot x^2 + m\dot x\,\dot r\cos\alpha + \tfrac12 m\dot r^2 + m g r\sin\alpha.

Passo 3

Escrevemos as equações de Lagrange para x e r.
Para x:
\frac{\D}{\D t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot x}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{\D}{\D t}\bigl((M+m)\dot x + m\dot r\cos\alpha\bigr)=0
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(M+m)\ddot x + m\cos\alpha\,\ddot r = 0.
Para r:
\frac{\D}{\D t}\Bigl(\frac{\partial L}{\partial\dot r}\Bigr)-\frac{\partial L}{\partial r} = \frac{\D}{\D t}\bigl(m\dot x\cos\alpha + m\dot r\bigr)-m g\sin\alpha=0
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m\cos\alpha\,\ddot x + m\ddot r - m g\sin\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot r + \cos\alpha\,\ddot x - g\sin\alpha = 0.

Passo 4

Temos o sistema
\begin{cases} (M+m)\ddot x + m\cos\alpha\,\ddot r = 0,\\\ \ddot r + \cos\alpha\,\ddot x - g\sin\alpha = 0. \end{cases}
Da primeira equação,
\ddot x = -\frac{m\cos\alpha}{M+m}\,\ddot r.
Substituindo na segunda:
\ddot r - \frac{m\cos^2\alpha}{M+m}\,\ddot r - g\sin\alpha = 0 \quad\Longrightarrow\quad \ddot r\Bigl(1 - \frac{m\cos^2\alpha}{M+m}\Bigr)=g\sin\alpha.
Como 1 - \frac{m\cos^2\alpha}{M+m} = \frac{M + m\sin^2\alpha}{M+m}, segue
\ddot r = g\sin\alpha\,\frac{M+m}{M + m\sin^2\alpha}.
Em seguida,
\ddot x = -\frac{m\cos\alpha}{M+m}\,\ddot r = -\frac{m\cos\alpha}{M+m}\,g\sin\alpha\,\frac{M+m}{M + m\sin^2\alpha} = -\frac{m g\,\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}.

Resposta

(i) Lagrangiana e equações de movimento:
L = \tfrac12(M+m)\dot x^2 + m\dot x\,\dot r\cos\alpha + \tfrac12 m\dot r^2 + m g r\sin\alpha,
(M+m)\ddot x + m\cos\alpha\,\ddot r = 0, \quad \ddot r + \cos\alpha\,\ddot x - g\sin\alpha = 0.
(ii) Aceleração da cunha no referencial inercial (eixo x positivo para a direita):
\ddot x = -\,\frac{m g\,\sin\alpha\cos\alpha}{M + m\sin^2\alpha}.
(iii) Aceleração do bloco em relação à cunha (para baixo ao longo da rampa):
\ddot r = g\sin\alpha\,\frac{M+m}{M + m\sin^2\alpha}.

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