Problema.Uma liga
em peso envelhecida tem uma matriz com uma densidade de
e os precipitados com uma densidade de
. O espaçamento entre as particulas é
. Determine o tamanho das particulas precipitada, cujo raio é:
, onde
é a fração volumétrica das partículas
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e o que se quer achar):
- Composição: liga
em peso (ou seja, em massa de Cu e em massa de Al). - Densidade da matriz (Al):
. - Densidade dos precipitados:
. - Espaçamento entre partículas:
. - Fórmula fornecida para o raio das partículas:
onde
é a fração volumétrica (volume ocupado pelos precipitados dividido pelo volume total).
O que o problema pede: calcular o tamanho (o raio
) das partículas precipitadas, o que exige primeiro determinar a fração volumétrica
a partir da composição em peso e das densidades dadas.
Passo 2
Como passar de porcentagem em massa para fração volumétrica? Explicação didática e passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro converte-se as porcentagens em massas relativas (frações em massa). Para
em massa de Cu: - Fração em massa do precipitado (assumindo que a massa referente ao soluto corresponde à fase precipitada):
. - Fração em massa da matriz (Al):
.
- Fração em massa do precipitado (assumindo que a massa referente ao soluto corresponde à fase precipitada):
Observação importante (assunção usada aqui): adota-se a simplificação usual em exercícios deste tipo de que a fração mássica de soluto (
) corresponde à massa dos precipitados. Ou seja, toma-se
. O enunciado deu as densidades da matriz e dos precipitados, então essa hipótese permite calcular
. (Se o precipitado tivesse composição complexa e comportasse parte do Al também, seria necessário conhecer sua composição para ajustar
; como não foi dada, procede-se com a hipótese acima.)
- Relação entre fração em massa
, densidade e fração volumétrica (ou para os precipitados). A ideia física: o volume ocupado por cada componente é a sua massa dividida pela sua densidade. Em termos de frações:
Aqui
é a fração mássica do componente
,
a sua densidade, e o denominador é a soma dos volumes específicos relativos de todos os componentes (nesse caso, matriz + precipitados). Essa fórmula vem do fato que o volume absoluto do componente
em uma certa massa total é
(onde
é a massa total), e ao dividir por
e normalizar pela soma obtemos a fração volumétrica.
Passo 3
Aplicando a fórmula para calcular
(fração volumétrica dos precipitados).
- Substituindo
, , , :
-
Calcular cada termo numérico com cuidado:
-
. -
.
-
-
Somando:
- Logo:
Interpretação:
significa que a fração volumétrica dos precipitados é cerca de
do volume total.
Passo 4
Agora usar a fórmula do enunciado para obter o raio
. Relembrando a fórmula e o significado das variáveis:
onde:
-
é o raio das partículas (mesma unidade que ), -
é a fração volumétrica calculada, -
é o espaçamento entre partículas (aqui ), -
é a fração volumétrica da matriz.
Substituindo os valores numéricos (usar consistência de unidades:
em
dá
em
):
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto:
Comentário intuitivo: o raio calculado é bastante pequeno (cerca de
, menos de 1 nm), o que significa partículas muito finas. Isso pode ocorrer para uma pequena fração volumétrica de precipitados; em exercícios teóricos é comum obter raios na faixa de sub-nanômetros a poucos nanômetros dependendo das hipóteses. Se, na prática, o precipitado contivesse também Al em sua fórmula química, a fração volumétrica real poderia ser diferente e o raio resultante mudaria — mas com os dados e a hipótese adotada, esse é o valor.
Força aí — você já tem o procedimento completo para aplicar à prova: converter massa→volume, calcular
com a fórmula de mistura de volumes, e usar a expressão de
.