Problema.Uma liga \mathrm{Al}-4 \% \mathrm{Cu} em peso envelhecida tem uma matriz com uma densidade de 2,70 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e os precipitados com uma densidade de 4,43 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. O espaçamento entre as particulas é \lambda=23 \mathrm{~nm}. Determine o tamanho das particulas precipitada, cujo raio é:
R=3 f \lambda / 4(1-f), onde f é a fração volumétrica das partículas

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e o que se quer achar):
  • Composição: liga \mathrm{Al}-4\%\\ \mathrm{Cu} em peso (ou seja, 4\% em massa de Cu e 96\% em massa de Al).
  • Densidade da matriz (Al): \rho_{m}=2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Densidade dos precipitados: \rho_{p}=4,43\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Espaçamento entre partículas: \lambda=23\\ \mathrm{nm}.
  • Fórmula fornecida para o raio das partículas:
R=\frac{3 f \lambda}{4(1-f)},
onde f é a fração volumétrica (volume ocupado pelos precipitados dividido pelo volume total).
O que o problema pede: calcular o tamanho (o raio R) das partículas precipitadas, o que exige primeiro determinar a fração volumétrica f a partir da composição em peso e das densidades dadas.

Passo 2

Como passar de porcentagem em massa para fração volumétrica? Explicação didática e passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro converte-se as porcentagens em massas relativas (frações em massa). Para 4\% em massa de Cu:
    • Fração em massa do precipitado (assumindo que a massa referente ao soluto corresponde à fase precipitada): w_{p}=0,04.
    • Fração em massa da matriz (Al): w_{m}=0,96.
Observação importante (assunção usada aqui): adota-se a simplificação usual em exercícios deste tipo de que a fração mássica de soluto ( 4\%) corresponde à massa dos precipitados. Ou seja, toma-se w_p=0,04. O enunciado deu as densidades da matriz e dos precipitados, então essa hipótese permite calcular f. (Se o precipitado tivesse composição complexa e comportasse parte do Al também, seria necessário conhecer sua composição para ajustar w_p; como não foi dada, procede-se com a hipótese acima.)
  • Relação entre fração em massa w_i, densidade \rho_i e fração volumétrica v_i (ou f para os precipitados). A ideia física: o volume ocupado por cada componente é a sua massa dividida pela sua densidade. Em termos de frações:
v_i=\frac{w_i/\rho_i}{\displaystyle\sum_j w_j/\rho_j}.
Aqui w_i é a fração mássica do componente i, \rho_i a sua densidade, e o denominador é a soma dos volumes específicos relativos de todos os componentes (nesse caso, matriz + precipitados). Essa fórmula vem do fato que o volume absoluto do componente i em uma certa massa total é V_i = (w_i M)/\rho_i (onde M é a massa total), e ao dividir por M e normalizar pela soma obtemos a fração volumétrica.

Passo 3

Aplicando a fórmula para calcular f (fração volumétrica dos precipitados).
  • Substituindo w_p=0,04, \rho_p=4,43\\ \mathrm{g/cm^{3}}, w_m=0,96, \rho_m=2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}:
f=\frac{w_p/\rho_p}{w_p/\rho_p + w_m/\rho_m}.
  • Calcular cada termo numérico com cuidado:
    • \dfrac{w_p}{\rho_p}=\dfrac{0,04}{4,43}=\dfrac{4}{443}\approx 0,009026.
    • \dfrac{w_m}{\rho_m}=\dfrac{0,96}{2,70}=\dfrac{96}{270}=\dfrac{16}{45}\approx 0,355555.
  • Somando:
w_p/\rho_p + w_m/\rho_m \approx 0,009026 + 0,355556 \approx 0,364582.
  • Logo:
f \approx \frac{0,009026}{0,364582}\approx 0,02476.
Interpretação: f\approx 0,02476 significa que a fração volumétrica dos precipitados é cerca de 2,476\% do volume total.

Passo 4

Agora usar a fórmula do enunciado para obter o raio R. Relembrando a fórmula e o significado das variáveis:
R=\frac{3 f \lambda}{4(1-f)},
onde:
  • R é o raio das partículas (mesma unidade que \lambda),
  • f é a fração volumétrica calculada,
  • \lambda é o espaçamento entre partículas (aqui \lambda=23\\ \mathrm{nm}),
  • 1-f é a fração volumétrica da matriz.
Substituindo os valores numéricos (usar consistência de unidades: \lambda em \mathrm{nm} R em \mathrm{nm}):
  • Numerador: 3 f \lambda = 3\cdot 0,02476 \cdot 23 \approx 1,7084\\ \mathrm{nm}.
  • Denominador: 4(1-f)=4\cdot(1-0,02476)=4\cdot 0,97524\approx 3,90096.
Portanto:
R \approx \frac{1,7084}{3,90096}\\ \mathrm{nm}\approx 0,438\\ \mathrm{nm}.
Comentário intuitivo: o raio calculado é bastante pequeno (cerca de 0,44\\ \mathrm{nm}, menos de 1 nm), o que significa partículas muito finas. Isso pode ocorrer para uma pequena fração volumétrica de precipitados; em exercícios teóricos é comum obter raios na faixa de sub-nanômetros a poucos nanômetros dependendo das hipóteses. Se, na prática, o precipitado contivesse também Al em sua fórmula química, a fração volumétrica real poderia ser diferente e o raio resultante mudaria — mas com os dados e a hipótese adotada, esse é o valor.
Força aí — você já tem o procedimento completo para aplicar à prova: converter massa→volume, calcular f com a fórmula de mistura de volumes, e usar a expressão de R.

Resposta

R=0,438\\ \mathrm{nm}

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