J=\int_{0}^{\infty}\left[q_{11} x_{1}^{2}(t)+q_{22} x_{2}^{2}(t)+q_{33} x_{3}^{2}(t)+r u^{2}(t)\right] d t
determine a solução positiva definida para a matriz de coeficientes de Riccati \boldsymbol{P}, a matriz de ganho de realimentação ótima \boldsymbol{K} e os autovalores do sistema em malha fechada \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}.
para:
(a) q_{11}=q_{22}=q_{33}=1, r=1;
Queremos achar a matriz P\succ0 que satisfaz a equação de Riccati contínua
A^{T}P + PA - P\,B\,r^{-1}B^{T}P + Q = 0,
o ganho ótimo
K = r^{-1} B^{T} P,
e os autovalores de A - BK.]
Passo 2
Para resolver a equação de Riccati algébrica (CARE) observamos que P é simétrica de dimensão 3, com seis incógnitas. Podemos usar um método numérico de solução direta (por exemplo, em MATLAB a função care(A,B,Q,R) ou em Python scipy.linalg.solve_continuous_are).
Passo 3
Aplicando um solver numérico obtemos a solução positiva definida