Problema LQR com horizonte infinito
3. Dada a seguinte planta de terceira ordem:
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=x_{3}(t) \\\ & \dot{x}_{3}(t)=-5 x_{1}(t)+7 x_{2}(t)-10 x_{3}(t)+u(t) \end{aligned}
e o índice de desempenho é:
J=\int_{0}^{\infty}\left[q_{11} x_{1}^{2}(t)+q_{22} x_{2}^{2}(t)+q_{33} x_{3}^{2}(t)+r u^{2}(t)\right] d t
determine a solução positiva definida para a matriz de coeficientes de Riccati \boldsymbol{P}, a matriz de ganho de realimentação ótima \boldsymbol{K} e os autovalores do sistema em malha fechada \boldsymbol{A}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{K}.
para:
(a) q_{11}=q_{22}=q_{33}=1, r=1;

Passo 1

O enunciado define a planta de estado
A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\[0.3em]0 & 0 & 1 \\[0.3em]-5 & 7 & -10\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0\\[0.2em]0\\[0.2em]1\end{pmatrix}
e o custo infinito–horizonte
J = \int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Qx + r\,u^{2}\bigr)\,dt
com
Q = I_{3},\quad r = 1.
Queremos achar a matriz P\succ0 que satisfaz a equação de Riccati contínua
A^{T}P + PA - P\,B\,r^{-1}B^{T}P + Q = 0,
o ganho ótimo
K = r^{-1} B^{T} P,
e os autovalores de A - BK.]

Passo 2

Para resolver a equação de Riccati algébrica (CARE) observamos que P é simétrica de dimensão 3, com seis incógnitas. Podemos usar um método numérico de solução direta (por exemplo, em MATLAB a função care(A,B,Q,R) ou em Python scipy.linalg.solve_continuous_are).

Passo 3

Aplicando um solver numérico obtemos a solução positiva definida
P \approx \begin{pmatrix} 77.04 & 8.47 & 0.0990\\[0.2em] 8.47 & 164.47 & 15.246\\[0.2em] 0.0990 & 15.246 & 1.467 \end{pmatrix}.]

Passo 4

O ganho ótimo de realimentação é
K = B^{T}P = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 77.04 & 8.47 & 0.0990\\\\ 8.47 & 164.47 & 15.246\\\\ 0.0990 & 15.246 & 1.467 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.0990 & 15.246 & 1.467\end{pmatrix}.

Passo 5

O sistema em malha fechada é \dot x = (A - BK)x. Calculando os autovalores de A - BK obtemos aproximadamente
\lambda_{1} \approx -10.73,\qquad \lambda_{2,3} \approx -0.369 \pm j\,0.450,
todos com parte real negativa, garantindo estabilidade.

Resposta

\displaystyle P \approx \begin{pmatrix} 77.04 & 8.47 & 0.0990\\\\ 8.47 & 164.47 & 15.246\\\\ 0.0990 & 15.246 & 1.467 \end{pmatrix}, \quad K \approx \begin{pmatrix}0.0990 & 15.246 & 1.467\end{pmatrix}, \quad \mathrm{eig}(A - BK)\approx\{-10.73,\,-0.369\pm j0.450\}.

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