Problema 4(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p t}) \mathrm{Na} experiência de Milikan, gotículas de óleo com densidade \rho=900 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} são suspensas por um campo elétrico (considerado uniforme) contra a ação da gravidade. Considerando que o raio de cada gotícula é de aproximadamente 3 \times 10^{-3} \mathrm{~mm}, que a carga em cada uma é q=3 e (onde e é a carga do elétron) e que a aceleração da gravidade vale g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, determine o campo elétrico na região em questão. A resposta pode ser deixada em termos de e, \pi, \epsilon_{o} e outras constantes fundamentais.

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
\n- Densidade do óleo: \rho=900\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
\n- Raio da gotícula: r=3\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm}.
\n- Carga da gotícula: q=3e, onde e é a carga elementar.
\n- Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
\n- Pedido: determinar o campo elétrico \;E\; (módulo) necessário para que a gotícula fique suspensa pelo campo elétrico uniforme.
\n- Observação útil (não fornecida no enunciado): não foi dada a densidade do ar; neste raciocínio iremos ignorar a força de empuxo do ar (ou seja, consideramos peso efetivo igual a mg). Se for necessário incluir empuxo, pode-se fazer uma correção posterior.

Passo 2

Converter unidades (especialmente o raio) para o SI:
\n- 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.
\n- Portanto r = 3\times 10^{-3}\\ \mathrm{mm} = 3\times 10^{-3}\times 10^{-3}\\ \mathrm{m} = 3\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Calcular a massa da gotícula a partir do volume e da densidade.
\n- Volume de uma esfera: \displaystyle V=\frac{4}{3}\pi r^{3}. Aqui V é o volume em \mathrm{m^{3}} e r em metros.
\n- Massa: \displaystyle m=\rho V=\rho\left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right).
\n- Escrevendo explicitamente:
m=\frac{4}{3}\pi r^{3}\rho.

Passo 4

Escrever a condição de equilíbrio vertical (gotícula suspensa, aceleração zero).
\n- Forças verticais importantes: peso \;P=mg\; para baixo e força elétrica \;F_{e}=qE\; para cima (assumindo campo orientado de modo a sustentar a gotícula).
\n- Em equilíbrio: \;qE=mg\;.
\n- Portanto:
E=\frac{mg}{q}.

Passo 5

Substituir a expressão de m em E=\dfrac{mg}{q} e usar q=3e.
\n- Substituindo m=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\rho:
E=\frac{\left(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\rho\right)g}{q}.
\n- Como q=3e, simplificando:
E=\frac{\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\rho\;g}{3e}=\frac{4\pi r^{3}\rho\;g}{9e}.
\n- Esta é a expressão simbólica final para E (em termos de r,\rho,g,e,\pi) quando se ignora empuxo.

Passo 6

Substituir números e calcular numericamente, passo a passo.
\n- Primeiro calcule r^{3}:
r^{3}=(3\times 10^{-6}\\ \mathrm{m})^{3}=27\times 10^{-18}\\ \mathrm{m^{3}}=2{,}7\times 10^{-17}\\ \mathrm{m^{3}}.
\n- Calcular o numerador 4\pi r^{3}\rho g:
4\pi r^{3}\rho g = 4\pi \times (2{,}7\times 10^{-17}) \times 900 \times 10.
\n- Fazer em etapas: 900\times 10=9000. Então
4\pi r^{3}\rho g = 4\pi \times 2{,}7\times 10^{-17}\times 9000.
\n- Multiplicando 2{,}7\times 9000 = 24300, logo 2{,}7\times 10^{-17}\times 9000 = 2{,}43\times 10^{-13}.
\n- Então 4\pi r^{3}\rho g \approx 4\pi \times 2{,}43\times 10^{-13}.
\n- Usando \pi\approx 3{,}1416: 4\pi\approx 12{,}566. Assim
4\pi r^{3}\rho g \approx 12{,}566 \times 2{,}43\times 10^{-13} \approx 3{,}05\times 10^{-12}.
\n- Denominador: 9e com e\approx 1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}
9e \approx 9\times 1{,}602\times 10^{-19} = 1{,}4418\times 10^{-18}\\ \mathrm{C}.
\n- Finalmente:
E \approx \frac{3{,}05\times 10^{-12}}{1{,}4418\times 10^{-18}}\\ \mathrm{V/m} \approx 2{,}12\times 10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 7

Interpretação e observações finais (rápido incentivo):
\n- Resultado: campo elétrico muito grande, da ordem de 10^{6}\\ \mathrm{V/m}. Não se assuste: gotículas são minúsculas e a carga é apenas 3e, logo é preciso um campo alto.
\n- Se você quiser incluir o empuxo do ar, substitua \rho por (\rho-\rho_{\text{ar}}) na fórmula de m (isto é, use massa efetiva \;m_{\text{ef}}=V(\rho-\rho_{\text{ar}})), obtendo
E=\frac{4\pi r^{3}(\rho-\rho_{\text{ar}})g}{9e},
onde \rho_{\text{ar}} é a densidade do ar (por exemplo \approx 1{,}2\\ \mathrm{kg/m^{3}}).
\n- Boa! Você agora tem a fórmula, o cálculo e a ideia de onde vem cada termo — na prova, escreva os passos claros: volume → massa → equilíbrio de forças → resolver para E. Confia que deu certo!

Resposta

E=\frac{4\pi r^{3}\rho\;g}{9e}\approx 2{,}12\times 10^{6}\\ \mathrm{V/m}.

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