Problema
experiência de Milikan, gotículas de óleo com densidade
são suspensas por um campo elétrico (considerado uniforme) contra a ação da gravidade. Considerando que o raio de cada gotícula é de aproximadamente
, que a carga em cada uma é
(onde
é a carga do elétron) e que a aceleração da gravidade vale
, determine o campo elétrico na região em questão. A resposta pode ser deixada em termos de
e outras constantes fundamentais.
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
\n- Densidade do óleo: .
\n- Raio da gotícula: .
\n- Carga da gotícula: , onde
é a carga elementar.
\n- Aceleração da gravidade: .
\n- Pedido: determinar o campo elétrico (módulo) necessário para que a gotícula fique suspensa pelo campo elétrico uniforme.
\n- Observação útil (não fornecida no enunciado): não foi dada a densidade do ar; neste raciocínio iremos ignorar a força de empuxo do ar (ou seja, consideramos peso efetivo igual a ). Se for necessário incluir empuxo, pode-se fazer uma correção posterior.
\n- Densidade do óleo:
\n- Raio da gotícula:
\n- Carga da gotícula:
\n- Aceleração da gravidade:
\n- Pedido: determinar o campo elétrico
\n- Observação útil (não fornecida no enunciado): não foi dada a densidade do ar; neste raciocínio iremos ignorar a força de empuxo do ar (ou seja, consideramos peso efetivo igual a
Passo 2
Converter unidades (especialmente o raio) para o SI:
\n- .
\n- Portanto
\n-
\n- Portanto
Passo 3
Calcular a massa da gotícula a partir do volume e da densidade.
\n- Volume de uma esfera: . Aqui
é o volume em
e
em metros.
\n- Massa: .
\n- Escrevendo explicitamente:
\n- Volume de uma esfera:
\n- Massa:
\n- Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Escrever a condição de equilíbrio vertical (gotícula suspensa, aceleração zero).
\n- Forças verticais importantes: peso para baixo e força elétrica
para cima (assumindo campo orientado de modo a sustentar a gotícula).
\n- Em equilíbrio: .
\n- Portanto:
\n- Forças verticais importantes: peso
\n- Em equilíbrio:
\n- Portanto:
Passo 5
Substituir a expressão de
em
e usar
.
\n- Substituindo :
\n- Substituindo
\n- Como
, simplificando:
\n- Esta é a expressão simbólica final para
(em termos de
) quando se ignora empuxo.
Passo 6
Substituir números e calcular numericamente, passo a passo.
\n- Primeiro calcule :
\n- Primeiro calcule
\n- Calcular o numerador
:
\n- Fazer em etapas:
. Então
\n- Multiplicando
, logo
.
\n- Então .
\n- Usando :
. Assim
\n- Então
\n- Usando
\n- Denominador:
com
dá
\n- Finalmente:
Passo 7
Interpretação e observações finais (rápido incentivo):
\n- Resultado: campo elétrico muito grande, da ordem de . Não se assuste: gotículas são minúsculas e a carga é apenas
, logo é preciso um campo alto.
\n- Se você quiser incluir o empuxo do ar, substitua por
na fórmula de
(isto é, use massa efetiva
), obtendo
\n- Resultado: campo elétrico muito grande, da ordem de
\n- Se você quiser incluir o empuxo do ar, substitua
onde
é a densidade do ar (por exemplo
).
\n- Boa! Você agora tem a fórmula, o cálculo e a ideia de onde vem cada termo — na prova, escreva os passos claros: volume → massa → equilíbrio de forças → resolver para . Confia que deu certo!
\n- Boa! Você agora tem a fórmula, o cálculo e a ideia de onde vem cada termo — na prova, escreva os passos claros: volume → massa → equilíbrio de forças → resolver para