Um problema de máximo/mínimo de uma função w=f(x, y, z) pode envolver duas restrições g(x, y, z)=k1 e g(x, y, z)=k2. Dentro das condições da teoria dos multiplicadores de Lagrange, deve-se considerar números reais lambda1 e lambda2 tais que
nabla f(x, y, z)=lambda1 nabla g(x, y, z)+lambda2 nabla h(x, y, z)

Passo 1

O enunciado trata de um problema de máximos e mínimos de uma função de três variáveis
,w = f(x,y,z),
sujeita a duas restrições independentes
g(x,y,z)=k1 e h(x,y,z)=k2,
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, em um ponto candidato a extremante, os gradientes de f,g,h satisfazem
nabla f(x,y,z)=lambda1,nabla g(x,y,z)+lambda2,nabla h(x,y,z)
com números reais lambda1,lambda2. Vamos montar a Lagrangiana e extrair o sistema de equações que caracteriza essas condições.

Passo 2

Definimos a Lagrangiana
L(x,y,z,lambda1,lambda2) = f(x,y,z);-;lambda1l(g(x,y,z)-k1r);-;lambda2l(h(x,y,z)-k2r)
Aqui subtraímos lambda1(g-k1) e lambda2(h-k2) de f para incorporar as duas restrições.

Passo 3

As condições necessárias de otimalidade exigem que as derivadas parciais de L em relação a cada variável sejam nulas. Portanto, obtemos o sistema
partial Lpartial x = 0, partial Lpartial y = 0, partial Lpartial z = 0, partial Lpartial lambda1 = 0, partial Lpartial lambda2 = 0

Passo 4

Calculando as derivadas, as primeiras três dão exatamente
nabla f(x,y,z) - lambda1,nabla g(x,y,z) - lambda2,nabla h(x,y,z) = 0 ;;Long<=ftrightarrow;; nabla f(x,y,z) = lambda1,nabla g(x,y,z) + lambda2,nabla h(x,y,z),
e as últimas duas impõem as próprias restrições:
g(x,y,z)=k1, h(x,y,z)=k2

Resposta

O sistema de equações que caracteriza os pontos candidatos a máximo ou mínimo é
nabla f(x,y,z) =lambda1,nabla g(x,y,z) +lambda2,nabla h(x,y,z),[6pt] g(x,y,z)=k1,[3pt] h(x,y,z)=k2 ]

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