Um problema de máximo/mínimo de uma função
pode envolver duas restrições
e
. Dentro das condições da teoria dos multiplicadores de Lagrange, deve-se considerar números reais
e
tais que
Passo 1
O enunciado trata de um problema de máximos e mínimos de uma função de três variáveis
sujeita a duas restrições independentes
sujeita a duas restrições independentes
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, em um ponto candidato a extremante, os gradientes de
satisfazem
com números reais
. Vamos montar a Lagrangiana e extrair o sistema de equações que caracteriza essas condições.
Passo 2
Definimos a Lagrangiana
Aqui subtraímos
e
de
para incorporar as duas restrições.
Passo 3
As condições necessárias de otimalidade exigem que as derivadas parciais de
em relação a cada variável sejam nulas. Portanto, obtemos o sistema
Passo 4
Calculando as derivadas, as primeiras três dão exatamente
e as últimas duas impõem as próprias restrições:
Resposta
O sistema de equações que caracteriza os pontos candidatos a máximo ou mínimo é