Problema 1. Qual é o menor inteiro positivo k tal que 4^{k} \equiv 1(\bmod 13) ?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 12

Passo 1

O enunciado pede o menor inteiro positivo k tal que 4^{k}\equiv1\pmod{13}. O conteúdo envolvido é a ordem multiplicativa de um elemento no anel \mathbb{Z}/13\mathbb{Z}.

Passo 2

Por definição, a ordem multiplicativa de 4 módulo 13 é o menor k>0 para o qual
4^{k}\equiv1\pmod{13}.
Para encontrá-lo, basta testar potências sucessivas de 4 módulo 13.

Passo 3

Calculando as potências de 4 em \bmod\,13:
4^{1}\equiv4\pmod{13},\quad 4^{2}\equiv16\equiv3\pmod{13},\quad 4^{3}\equiv3\cdot4=12\pmod{13},
4^{4}\equiv12\cdot4=48\equiv9\pmod{13},\quad 4^{5}\equiv9\cdot4=36\equiv10\pmod{13},\quad 4^{6}\equiv10\cdot4=40\equiv1\pmod{13}.

Passo 4

Observamos que a primeira potência que dá 1 é 4^{6}. Logo o menor inteiro positivo k com essa propriedade é k=6.

Resposta

(d)

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