Problema 2. Determine a ordem de 2 módulo 101.
a) 10
b) 20
c) 25
d) 50
e) 100

Passo 1

O enunciado pede a ordem multiplicativa de 2 no grupo \mathbb{Z}_{101}^*. Como 101 é primo, o teorema de Fermat nos diz que
\varphi(101)=100
e a ordem de 2 deve ser um divisor de 100. Entre as opções dadas só precisamos testar 10,20,25,50 (os menores divisores óbvios como 1,2,4,5 não podem dar 2^k\equiv1\pmod{101} pois 2^5=32\not\equiv1).

Passo 2

Calcular 2^{10}\pmod{101}. Usamos
2^5 = 32,\quad 2^{10} = (2^5)^2 = 32^2 = 1024 \equiv 1024 - 10\cdot101 = 14 \pmod{101}.
Como 2^{10}\equiv14\not\equiv1, a ordem não é 10.

Passo 3

Calcular 2^{20}\pmod{101} a partir de 2^{10}:
2^{20} = (2^{10})^2 \equiv 14^2 = 196 \equiv 196 - 1\cdot101 = 95 \pmod{101}.
Como 2^{20}\equiv95\not\equiv1, a ordem não é 20.

Passo 4

Calcular 2^{25}\pmod{101} usando 2^{20} e 2^5:
2^{25} = 2^{20}\cdot2^5 \equiv 95\cdot32 = 3040 \equiv 3040 - 30\cdot101 = 10 \pmod{101}.
Como 2^{25}\equiv10\not\equiv1, a ordem não é 25.

Passo 5

Calcular 2^{50}\pmod{101} usando 2^{25}:
2^{50} = (2^{25})^2 \equiv 10^2 = 100 \pmod{101}.
Como 2^{50}\equiv100\not\equiv1, a ordem não é 50.

Passo 6

Finalmente, pelo teorema de Fermat,
2^{100}\equiv1\pmod{101},
e vimos que nenhum divisor próprio de 100 deu 1. Logo a ordem de 2 modulo 101 é 100.

Resposta

e) 100

Exercícios relacionados