Problema 2. Determine a ordem de 2 módulo 101.
a) 10
b) 20
c) 25
d) 50
e) 100
a) 10
b) 20
c) 25
d) 50
e) 100
Passo 1
O enunciado pede a ordem multiplicativa de
no grupo
. Como
é primo, o teorema de Fermat nos diz que
e a ordem de
deve ser um divisor de
. Entre as opções dadas só precisamos testar
(os menores divisores óbvios como
não podem dar
pois
).
Passo 2
Calcular
. Usamos
Como
, a ordem não é
.
Passo 3
Calcular
a partir de
:
Como
, a ordem não é
.
Passo 4
Calcular
usando
e
:
Como
, a ordem não é
.
Passo 5
Calcular
usando
:
Como
, a ordem não é
.
Passo 6
Finalmente, pelo teorema de Fermat,
e vimos que nenhum divisor próprio de
deu
. Logo a ordem de
modulo
é
.
Resposta
e) 100