Problema 3. Determine o número de raízes primitivas módulo 17 no conjunto \{1,2, \ldots, 16\}.
a) 2
b) 4
c) 8
d) 10
e) 16

Passo 1

O enunciado pede o número de raízes primitivas módulo 17 no conjunto \{1,2,\ldots,16\}. Como 17 é primo, o grupo multiplicativo \mathbb{Z}_{17}^* é cíclico de ordem 16. O conteúdo teórico que vamos usar é que, num grupo cíclico de ordem n, o número de geradores (raízes primitivas) é \varphi(n), onde \varphi é a função totiente de Euler.

Passo 2

Aplicando essa teoria ao nosso caso, o número de raízes primitivas módulo 17 é
\varphi(16).

Passo 3

Para calcular \varphi(16), observe que 16 = 2^4 e, para p primo e k\ge1,
\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}.
Assim,
\varphi(16) = \varphi(2^4) = 2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 8.

Resposta

(c) 8

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