1. Wire is drawn through a draw die with entrance angle =15^{\circ}. Starting diameter is 2.5 mm and final diameter =2.0 \mathrm{~mm}. The coefficient of friction at the work-die interface =0.07. The metal has a strength coefficient K=205 \mathrm{MPa} and a strain-hardening exponent n=0.20. Determine the draw stress and draw force in this operation.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • ângulo de entrada do piezo/die (meio‑ângulo) \alpha = 15^\circ,
    • diâmetro inicial \,d_0 = 2{,}5\\ \text{mm},
    • diâmetro final \,d_f = 2{,}0\\ \text{mm},
    • coeficiente de atrito na superfície \mu = 0{,}07,
    • coeficiente de resistência do material K = 205\\ \text{MPa},
    • expoente de encruamento n = 0{,}20.
  • O que o problema pede:
    1. Determinar a tensão de traço (draw stress) necessária para o processo.
    2. Determinar a força de tração (draw force) correspondente.

Passo 2

Calcular a deformação verdadeira (true strain) associada à redução de área.
Explicação breve do que é a deformação verdadeira: quando a seção transversal muda de A_0 para A_f, a deformação verdadeira uniaxial em termos de áreas é \varepsilon = \ln\!\left(\dfrac{A_0}{A_f}\right). Para um fio circular A\propto d^2, então
\varepsilon = \ln\!\left(\frac{A_0}{A_f}\right) = \ln\!\left(\frac{d_0^2}{d_f^2}\right) = 2\ln\!\left(\frac{d_0}{d_f}\right).
Agora calculo substituindo os números:
\varepsilon = 2\ln\!\left(\frac{2{,}5}{2{,}0}\right) = 2\ln(1{,}25)=2\cdot 0{,}22314355\ldots = 0{,}4462871\ldots
Portanto
\varepsilon \approx 0{,}4463.

Passo 3

Determinar a tensão média de escoamento do material devido à deformação plástica (sem considerar atrito).
Explicação do modelo do material e da média:
  • Para um material que segue a lei de potência (levy‑metzner) na curva tensão verdadeira × deformação verdadeira, a tensão verdadeira é \sigma(\varepsilon)=K\,\varepsilon^{\,n}, onde K e n são dados.
  • A tensão média (ou tensão média de trabalho) ao deformar de 0 até \varepsilon é a média aritmética da tensão verdadeira sobre a variação de deformação:
\bar{\sigma}=\frac{1}{\varepsilon}\int_{0}^{\varepsilon} K\,\epsilon^{\,n}\,d\epsilon.
  • Fazendo a integral:
\bar{\sigma}=\frac{K}{\varepsilon}\cdot\frac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1}=\frac{K\,\varepsilon^{\,n}}{n+1}.
Agora substituo os valores:
\varepsilon^{\,n} = (0{,}4462871)^{0{,}20}\approx 0{,}850997,
K\,\varepsilon^{\,n} = 205\\ \text{MPa}\times 0{,}850997 \approx 174{,}95\\ \text{MPa},
\bar{\sigma} = \frac{174{,}95}{1{,}20} \approx 145{,}79\\ \text{MPa}.
Portanto, sem atrito a tensão média necessária é \bar{\sigma}\approx 145{,}8\\ \text{MPa}.

Passo 4

Incluir o efeito do atrito e da geometria do molde para obter a tensão de traço (draw stress).
Explicação física e fórmula usada:
  • Além da resistência ao escoamento do material, a superfície de contato com o cone do molde gera perda adicional de carga por atrito. Para desenho de fio através de um dado cônico, uma aproximação usual (vista em muitos textos de conformação plástica) para a tensão de traço é:
\sigma_{\text{draw}} = \bar{\sigma}\left(1 + \frac{2\mu\cot\alpha}{3}\right),
onde \alpha é o meio‑ângulo do cone (o enunciado deu 15^\circ), \mu é o coeficiente de atrito, e \bar{\sigma} é a tensão média calculada no passo anterior. Essa expressão resulta de considerar a distribuição de tensão ao longo da zona de redução e a componente tangencial de atrito sobre a superfície de contato; é uma aproximação prática largamente usada em problemas de desenho de fios.
Cálculo dos termos numéricos:
\cot\alpha = \cot(15^\circ) \approx 3{,}7320508,
\frac{2\mu\cot\alpha}{3} = \frac{2\cdot 0{,}07\cdot 3{,}7320508}{3} \approx 0{,}1741624.
Fator total:
1+\frac{2\mu\cot\alpha}{3} \approx 1{,}1741624.
Agora a tensão de traço:
\sigma_{\text{draw}} = 145{,}79\\ \text{MPa}\times 1{,}1741624 \approx 171{,}15\\ \text{MPa}.
Arredondando com coerência: \sigma_{\text{draw}}\approx 171{,}1\\ \text{MPa}.

Passo 5

Calcular a força de tração (draw force) correspondente.
Explicação: a força necessária é a tensão de traço multiplicada pela área da seção final (a força é a tensão multiplicada pela área onde a tensão atua). Para fio circular:
A_f = \frac{\pi d_f^2}{4}.
Substituindo d_f=2{,}0\\ \text{mm}:
A_f = \frac{\pi (2{,}0)^2}{4} = \pi\\ \text{mm}^2 \approx 3{,}141593\\ \text{mm}^2.
Como 1 MPa = 1\\ \text{N/mm}^2, a força em newtons é
F = \sigma_{\text{draw}}\cdot A_f = 171{,}15\\ \text{N/mm}^2 \times 3{,}141593\\ \text{mm}^2 \approx 537{,}6\\ \text{N}.
Arredondando de forma prática: F\approx 538\\ \text{N}.

Resposta

\sigma_{\text{draw}} \approx 171{,}1\\ \text{MPa}
F \approx 538\\ \text{N}

Exercícios relacionados