1. A billet 75 mm long and 25 mm in diameter is to be extruded in a direct extrusion operation with extrusion ratio r_{x}=4.0. The extrudate has a round cross section. The die angle (halfangle) =90^{\circ}. The work metal has a strength coefficient =415 \mathrm{MPa}, and strain-hardening exponent =0.18. Use the Johnson formula with a=0.8 and b=1.5 to estimate extrusion strain. Determine the pressure applied to the end of the billet as the ram moves forward.

Passo 1

Vou listar claramente o que o problema dá e o que pede.
Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Comprimento do tarugo: L_0=75\\ \mathrm{mm}.
  • Diâmetro inicial do tarugo: d_0=25\\ \mathrm{mm}.
  • Razão de extrusão: r_x=4{,}0. (isto é r_x=\dfrac{A_0}{A_f})
  • Extrudado com seção circular (diâmetro final tal que A_f=A_0/r_x).
  • Meia-ângulo da matriz (die half-angle): \alpha=90^\circ.
  • Coeficiente de resistência (constante de potência): K=415\\ \mathrm{MPa}.
  • Exponente de encruamento (lei potência): n=0{,}18.
  • Fórmula de Johnson com constantes: a=0{,}8 e b=1{,}5.
O enunciado pede duas coisas:
  1. Estimar a deformação de extrusão (a deformação equivalente associada ao processo) usando a fórmula de Johnson com a e b dados.
  2. Determinar a pressão aplicada na extremidade do tarugo enquanto o êmbolo avança (ou seja, a pressão de extrusão p).
Observação importante (que vou usar): o enunciado não dá coeficiente de atrito nem comprimento do canal de matriz, então vou assumir que o trabalho por atrito e efeitos de parede não são fornecidos separadamente. A fórmula de Johnson já contém um termo b que representa a contribuição adicional de deformação associada à passagem pela matriz (efeito do ângulo, etc.). Para calcular a pressão p vou usar um balanço de energia entre o trabalho externo do êmbolo e o trabalho plástico interno no volume do material (método padrão e adequado quando se usa uma estimativa da deformação equivalente para todo o processo). Se houvesse necessidade de contabilizar atrito explicitamente seriam necessárias informações adicionais.

Passo 2

Qual fórmula de Johnson vou usar e por que.
A forma empírica simples que usaremos (com as constantes fornecidas) é
\varepsilon = a\ln r_x + b,
onde:
  • \varepsilon é a deformação equivalente de extrusão (adimensional);
  • r_x é a razão de extrusão A_0/A_f;
  • a e b são constantes empíricas que incorporam a contribuição da redução homogênea ( \ln r_x) e a deformação extra na região da matriz (função do ângulo da matriz, etc.).
Explicação didática: a deformação total na extrusão tem pelo menos duas contribuições principais:
  • a redução de área (componente homogênea) que escala com \ln r_x;
  • a deformação concentrada na vizinhança da matriz (curvatura, cisalhamento local), que é estimada por um termo adicional. A fórmula acima é uma forma prática e aceita para estimar a deformação equivalente total a partir de r_x e de parâmetros empíricos.

Passo 3

Calcular numericamente a deformação de extrusão usando a fórmula de Johnson.
Primeiro calcule \ln r_x:
\ln r_x = \ln 4 = 1{,}386294\ldots
Aplicando a fórmula
\varepsilon = a\ln r_x + b = 0{,}8\cdot\ln 4 + 1{,}5.
Fazendo as contas passo a passo:
0{,}8\cdot\ln 4 = 0{,}8 \times 1{,}386294\ldots = 1{,}109035\ldots
\varepsilon = 1{,}109035\ldots + 1{,}5 = 2{,}609035\ldots
Arredondando razoavelmente:
\varepsilon \approx 2{,}609.
Interpretação: essa é a deformação equivalente total estimada para o material ao passar pela matriz e reduzir a área na razão r_x=4, incluindo a contribuição empírica do termo b.

Passo 4

Modelo de resistência do material e como obter o trabalho plástico interno.
A lei de escoamento dada é do tipo potência:
\sigma = K\,\varepsilon^n,
onde:
  • \sigma é a tensão de escoamento instantânea (MPa) associada à deformação equivalente \varepsilon;
  • K é o coeficiente fornecido ( 415\\ \mathrm{MPa});
  • n é o expoente de encruamento ( 0{,}18).
O trabalho plástico por unidade de volume para deformar um elemento desde \varepsilon=0 até \varepsilon=\varepsilon_f é
w_p=\int_{0}^{\varepsilon_f} \sigma(\varepsilon)\,d\varepsilon =\int_{0}^{\varepsilon_f} K\,\varepsilon^n\,d\varepsilon =K\,\frac{\varepsilon_f^{\,n+1}}{n+1}.
Esse w_p tem unidades de energia por volume (MPa = N/mm^2), e multiplicado pelo volume total dá o trabalho plástico total absorvido pelo material.

Passo 5

Balanço de energia para obter a pressão de extrusão p.
Raciocínio físico e simplificado (muito usado em problemas teóricos):
  • Volume inicial do tarugo: V=A_0 L_0.
  • Depois de extrudado esse volume ocupa comprimento L_\text{out} com área A_f, e por conservação de volume A_0 L_0=A_f L_\text{out}. Logo L_\text{out} = r_x L_0.
  • O êmbolo move-se uma distância s para empurrar todo o material para fora; enquanto transforma o tarugo em extrudado, o êmbolo desloca o material de comprimento L_0 na peça inicial até comprimento L_\text{out} no extrudado, então o deslocamento do êmbolo ao final é
s = L_\text{out}-L_0 = (r_x-1)L_0.
  • Trabalho externo realizado pelo êmbolo: W_\text{ext}=F\,s = p\,A_0\,s = p\,A_0\,(r_x-1)L_0.
  • Trabalho plástico interno (do passo anterior): W_p=w_p \cdot V = \left(K\frac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1}\right)\cdot A_0 L_0.
Igualando W_\text{ext}=W_p e cancelando A_0 L_0 obtemos:
p\,(r_x-1)=K\,\frac{\varepsilon^{\,n+1}}{n+1}.
Portanto a pressão média requerida é
\boxed{p=\dfrac{K\,\varepsilon^{\,n+1}}{(n+1)(r_x-1)}}.
Observação didática: essa expressão resulta do balanço de energia (trabalho externo transformado em energia plástica). Ela não inclui explicitamente perdas por atrito nas paredes do canal da matriz ou efeitos de tensão hidrostática adicionais que exigiriam dados de atrito; por isso é coerente com os dados que nos foram passados.

Passo 6

Substituir números e calcular p numericamente (passo a passo).
Temos:
\varepsilon \approx 2{,}609,\qquad n=0{,}18,\qquad K=415\\ \mathrm{MPa},\qquad r_x=4.
Calcule \varepsilon^{\,n+1}=\varepsilon^{\,1{,}18}=\varepsilon\cdot\varepsilon^{\,0{,}18}.
Primeiro \varepsilon^{\,0{,}18}:
\ln\varepsilon = \ln 2{,}609 \approx 0{,}958875,
0{,}18\cdot\ln\varepsilon = 0{,}1725975,
\varepsilon^{\,0{,}18} = e^{0{,}1725975}\approx 1{,}1884.
Logo
\varepsilon^{\,1{,}18} = \varepsilon\cdot\varepsilon^{\,0{,}18} \approx 2{,}609\times 1{,}1884 \approx 3{,}0987.
Agora o numerador:
K\,\varepsilon^{\,n+1} \approx 415\\ \mathrm{MPa}\times 3{,}0987 \approx 1286{,}1\\ \mathrm{MPa}.
Denominador:
(n+1)(r_x-1) = 1{,}18\times(4-1)=1{,}18\times 3 = 3{,}54.
Finalmente,
p=\dfrac{1286{,}1}{3{,}54}\\ \mathrm{MPa}\approx 363{,}5\\ \mathrm{MPa}.
Arredondando para duas cifras significativas convenientes:
p \approx 364\\ \mathrm{MPa}.
Complemento didático (opcional, útil para ter noção): a tensão média de escoamento (média de \sigma durante a deformação) seria
\bar\sigma=\frac{1}{\varepsilon}\int_0^{\varepsilon} K\varepsilon'^n d\varepsilon' = \frac{K\,\varepsilon^{\,n}}{n+1}.
Se calcularmos isso temos \varepsilon^{\,n}\approx 1{,}1884 e
\bar\sigma \approx \frac{415\times 1{,}1884}{1{,}18}\\ \mathrm{MPa}\approx 418\\ \mathrm{MPa},
o que dá uma ideia da ordem de grandeza da resistência média do metal durante a extrusão. Note que p é um pouco menor que \bar\sigma multiplicado por fatores geométricos que aparecem no balanço de energia — aqui o balanço levou em conta que o êmbolo faz trabalho ao alongar o material (a razão r_x entra na expressão final).

Resposta

\varepsilon \approx 2{,}609\newline
p \approx 364\\ \mathrm{MPa}

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