- PROBLEMA 3

Seja S o valor da área da região limitada por x=y^{2}-y-6 \mathrm{e} x=2 y+4. Encontre o valor de 6 \cdot S
Resposta: 343

Passo 1

O enunciado pede a área S da região limitada pelas curvas
x = y^{2} - y - 6
e
x = 2y + 4.
Este é um problema de cálculo de área entre curvas definidas como x=f(y). Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar os valores de y onde as curvas se interceptam.
  2. Determinar, para cada y no intervalo de interseção, qual função dá a abscissa mais à direita e qual dá a mais à esquerda.
  3. Montar a integral
S = \int_{y_{\text{inf}}}^{y_{\text{sup}}} \bigl[x_{\text{direita}}(y) - x_{\text{esquerda}}(y)\bigr]\,dy
e calculá-la.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de x:
y^{2} - y - 6 = 2y + 4.
Reorganizando:
y^{2} - 3y - 10 = 0.
As raízes são
y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2},
isto é,
y = 5 \quad\text{e}\quad y = -2.

Passo 3

Para cada y\in[-2,5], a abscissa da curva mais à direita é
x_{\text{direita}}(y) = 2y + 4,
e a da curva mais à esquerda é
x_{\text{esquerda}}(y) = y^{2} - y - 6.
Logo, a largura horizontal vale
(2y+4) - (y^{2}-y-6) = -\,y^{2} + 3y + 10.

Passo 4

Montamos a integral da área:
S = \int_{-2}^{5} \bigl(-y^{2} + 3y + 10\bigr)\,dy.
A antiderivada de -y^{2} + 3y + 10 é
-\,\frac{y^{3}}{3} \;+\; \frac{3\,y^{2}}{2} \;+\; 10\,y.

Passo 5

Avaliamo-la de -2 a 5:
Em y=5:
-\,\frac{5^{3}}{3} + \frac{3\cdot 5^{2}}{2} + 10\cdot 5 = -\,\frac{125}{3} + \frac{75}{2} + 50 = \frac{-250 + 225 + 300}{6} = \frac{275}{6}.
Em y=-2:
-\,\frac{(-2)^{3}}{3} + \frac{3\cdot(-2)^{2}}{2} + 10\cdot(-2) = \frac{8}{3} + 6 - 20 = \frac{16 + 36 - 120}{6} = -\,\frac{68}{6}.
Subtraindo,
S = \frac{275}{6} - \bigl(-\tfrac{68}{6}\bigr) = \frac{343}{6}.

Passo 6

O problema pede 6\cdot S, portanto
6\cdot S = 6 \times \frac{343}{6} = 343.

Resposta

343

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