- PROBLEMA 2

Calcule \int_{3}^{6}|2 x-10| d x

Resposta: 5

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{3}^{6}\bigl|2x-10\bigr|\,dx. O conteúdo envolve integração de valor absoluto, o que exige identificar onde a função muda de sinal e, em seguida, integrar em cada subintervalo sem o módulo.

Passo 2

Encontrar o ponto em que 2x-10=0, ou seja x=5. Isso divide o intervalo [3,6] em [3,5] e [5,6]. Em [3,5] temos 2x-10\le0 logo \bigl|2x-10\bigr|=10-2x, e em [5,6] temos 2x-10\ge0 logo \bigl|2x-10\bigr|=2x-10.

Passo 3

Calcular a primeira parte
I_1=\int_{3}^{5}(10-2x)\,dx.
A antiderivada de 10-2x é 10x - x^2. Portanto,
I_1 = \bigl[\,10x - x^2\bigr]_{3}^{5} = \bigl(10\cdot5 - 5^2\bigr) - \bigl(10\cdot3 - 3^2\bigr) = 25 - 21 = 4.

Passo 4

Calcular a segunda parte
I_2=\int_{5}^{6}(2x-10)\,dx.
A antiderivada de 2x-10 é x^2 - 10x. Logo,
I_2 = \bigl[\,x^2 - 10x\bigr]_{5}^{6} = \bigl(36 - 60\bigr) - \bigl(25 - 50\bigr) = -24 - (-25) = 1.

Passo 5

Somando as duas partes,
\int_{3}^{6}\bigl|2x-10\bigr|\,dx = I_1 + I_2 = 4 + 1 = 5.

Resposta

5

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