Problema 2: Sejam dois fios resistivos A e B de mesmo material e mesmo comprimento, mas que a seção do fio B é maior que a do fio A . Sabe-se que, com os fios conectados em série obtém-se uma resistência equivalente de 10 \Omega \mathrm{e}, em paralelo, obtém-se uma resistência equivalente de 2,1 \Omega. Determine o valor das resistências dos fios A e B.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos dois fios resistivos A e B de mesmo material e comprimento, cujas resistências são R_A e R_B. Em associação série a resistência equivalente é 10\\ \Omega e, em paralelo, é 2,1\\ \Omega. Para resolver precisaremos usar as fórmulas de associação de resistores em série e em paralelo.

Passo 2

Para associação em série, basta somar as resistências:
R_A + R_B = 10\\ \Omega.

Passo 3

Para associação em paralelo, vale
\frac{1}{R_{\mathrm{eq}}} = \frac{1}{R_A} + \frac{1}{R_B}.
Como R_{\mathrm{eq}} = 2,1\\ \Omega e já sabemos que R_A+R_B=10\\ \Omega, multiplicando ambos os lados por R_A R_B obtemos
R_A\,R_B = R_{\mathrm{eq}}\,(R_A + R_B) = 2,1 \times 10 = 21\\ \Omega^2.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} R_A + R_B = 10,\\\ R_A\,R_B = 21, \end{cases}
monta-se a equação quadrática
t^2 - 10t + 21 = 0,
cuja solução é
t = \frac{10 \pm \sqrt{10^2 - 4\cdot21}}{2} = \frac{10 \pm 4}{2},
logo t = 3 ou t = 7.

Passo 5

Como o fio B tem seção maior, sua resistência é menor. Portanto
R_B = 3\\ \Omega, \quad R_A = 7\\ \Omega.

Resposta

R_A = 7\\ \Omega R_B = 3\\ \Omega

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