Problema 3.9. Suponha que os números 216 e 144 sejam múltiplos comuns de um determinado par de números a e b. Mostre que mmc(a, b) <= 72.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois números, 216 e 144, que são múltiplos comuns de dois outros números, chamados de a e b . Nosso objetivo aqui é mostrar que o mínimo múltiplo comum (MMC) de a e b , que a gente escreve como mmc(a, b) , é no máximo 72. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre múltiplos, divisores e como o MMC e o máximo divisor comum (MDC) se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser múltiplo de outro. Se 216 e 144 são múltiplos de a e b , isso quer dizer que a e b são divisores de 216 e 144. Em outras palavras:
a mid 216 e a mid 144
b mid 216 e b mid 144
Aqui, o símbolo mid significa “divide”.

Passo 3

Agora, vamos pensar no MMC de a e b . O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Mas como a e b dividem 216 e 144, o MMC deles também tem uma relação direta com o máximo divisor comum (MDC) de 216 e 144. Existe uma propriedade que diz:
mmc(a, b) <= mdc(216, 144)
Então, para descobrir o valor máximo que o MMC pode ter, precisamos calcular o MDC de 216 e 144.

Passo 4

Vamos calcular o MDC de 216 e 144 usando o método da divisão sucessiva:
216 div 144 = 1 com resto 72
144 div 72 = 2 com resto 0
Quando o resto chega a zero, o divisor atual é o MDC. Portanto:
mdc(216, 144) = 72

Passo 5

Agora que sabemos que mdc(216, 144) = 72 , podemos voltar à nossa propriedade:
mmc(a, b) <= 72
Isso significa que o MMC de a e b não pode ser maior que 72.

Resposta

Portanto, mostramos que mmc(a, b) <= 72 .

Exercícios relacionados