Problema 3.9. Suponha que os números 216 e 144 sejam múltiplos comuns de um determinado par de números
e
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre dois números, 216 e 144, que são múltiplos comuns de dois outros números, chamados de
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar que o mínimo múltiplo comum (MMC) de
e
, que a gente escreve como
, é no máximo 72. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre múltiplos, divisores e como o MMC e o máximo divisor comum (MDC) se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser múltiplo de outro. Se 216 e 144 são múltiplos de
e
, isso quer dizer que
e
são divisores de 216 e 144. Em outras palavras:
Aqui, o símbolo
significa “divide”.
Passo 3
Agora, vamos pensar no MMC de
e
. O MMC de dois números é o menor número que é múltiplo de ambos. Mas como
e
dividem 216 e 144, o MMC deles também tem uma relação direta com o máximo divisor comum (MDC) de 216 e 144. Existe uma propriedade que diz:
Então, para descobrir o valor máximo que o MMC pode ter, precisamos calcular o MDC de 216 e 144.
Passo 4
Vamos calcular o MDC de 216 e 144 usando o método da divisão sucessiva:
Quando o resto chega a zero, o divisor atual é o MDC. Portanto:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos voltar à nossa propriedade:
Isso significa que o MMC de
e
não pode ser maior que 72.
Resposta
Portanto, mostramos que
.