(Problema de valor de contorno) Verifique que a função u(x, y)= a \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)+b satisfaz a equação de Laplace (3) e determine a e b de modo que u satisfaça as condições de contorno u=110 sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=1 e u=0 sobre a circunferência x^{2}+y^{2}=100

Passo 1

O enunciado dá a função
u(x,y)=a\ln\bigl(x^2+y^2\bigr)+b
e pede para (i) verificar que ela satisfaz a equação de Laplace \Delta u = u_{xx}+u_{yy}=0 e (ii) achar a e b tais que u=110 em x^2+y^2=1 e u=0 em x^2+y^2=100. Vamos usar derivadas parciais e as condições de contorno em termos de r^2=x^2+y^2.

Passo 2

Para verificar que \Delta u=0, note que r^2=x^2+y^2. Primeiro,
u_x = a\,\frac{1}{r^2}\cdot 2x = \frac{2ax}{r^2}, \qquad u_y = \frac{2ay}{r^2}.
Em seguida,
u_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{2ax}{r^2}\Bigr) = 2a\,\frac{r^2 - 2x^2}{r^4}, \quad u_{yy} = 2a\,\frac{r^2 - 2y^2}{r^4}.
Somando:
u_{xx}+u_{yy} =2a\,\frac{(r^2-2x^2)+(r^2-2y^2)}{r^4} =2a\,\frac{2r^2-2(x^2+y^2)}{r^4} =0,
pois x^2+y^2=r^2. Logo \Delta u=0.

Passo 3

Na fronteira x^2+y^2=1 temos \ln(r^2)=\ln(1)=0, logo
u= a\cdot0 + b = b \stackrel!=110 \quad\Longrightarrow\quad b=110.

Passo 4

Na fronteira x^2+y^2=100 temos \ln(r^2)=\ln(100), e a condição u=0
a\,\ln(100)+b=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-\frac{b}{\ln(100)} =-\frac{110}{\ln(100)} =-\frac{110}{2\ln(10)} =-\frac{55}{\ln(10)}.

Resposta

a=-\frac{55}{\ln(10)}, \qquad b=110.

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