(Problema de valor de contorno) Verifique que a função
satisfaz a equação de Laplace (3) e determine
e
de modo que
satisfaça as condições de contorno
sobre a circunferência
e
sobre a circunferência
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para (i) verificar que ela satisfaz a equação de Laplace
e (ii) achar
e
tais que
em
e
em
. Vamos usar derivadas parciais e as condições de contorno em termos de
.
Passo 2
Para verificar que
, note que
. Primeiro,
Em seguida,
Somando:
pois
. Logo
.
Passo 3
Na fronteira
temos
, logo
Passo 4
Na fronteira
temos
, e a condição
dá