Problema de Valor Inicial. Resolva as EDOs
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+6 y=1+e^{-t} ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condição inicial:
y''+4y'+6y=1+e^{-t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que pede: encontrar a solução y(t) que satisfaz a EDO para todo t (solução particular + homogênea) e que respeita as condições iniciais fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Equação homogênea associada: y''+4y'+6y=0.
  • Termo não-homogêneo (forçante): 1+e^{-t}, que é soma de uma constante e uma exponencial.
  • Condições iniciais em t=0: y(0)=0 e y'(0)=0.

Passo 2

Resolver a equação homogênea. Primeiro escrevo a equação característica associada à homogênea:
r^{2}+4r+6=0.
Vou resolver essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot6=16-24=-8.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calculo:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-8}}{2}=-2\pm i\sqrt{2}.
Para raízes r=-2\pm i\sqrt{2} a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do conceito usado: ao resolver a homogênea com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma e^{rt}. As raízes complexas a\pm ib geram termos e^{at}\cos(bt) e e^{at}\sin(bt), daí a forma acima.

Passo 3

Procurar uma solução particular y_{p}(t) para a não-homogeneidade 1+e^{-t}. Uso o método dos coeficientes indeterminados: escolho um ansatz (forma) para cada termo da forçante.
  • Para a constante 1, tento uma solução particular constante y_{p1}=A. Substituo em y''+4y'+6y: como y''=y'=0,
6A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{6}.
  • Para o termo e^{-t}, tento y_{p2}=B e^{-t}, a menos que e^{-t} seja solução da homogênea. Verifico: as raízes da característica são -2\pm i\sqrt{2}, portanto -1 NÃO é raiz; assim a forma B e^{-t} é válida. Derivo:
y_{p2}'=-B e^{-t},\qquad y_{p2}''=B e^{-t}.
Substituindo na equação:
y_{p2}''+4y_{p2}'+6y_{p2}=(B-4B+6B)e^{-t}=3B e^{-t}.
Igualando a e^{-t} da forçante:
3B e^{-t}=e^{-t}\quad\Rightarrow\quad 3B=1\quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{3}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(t)=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}.
Breve lembrete didático: o método dos coeficientes indeterminados funciona testando formas simples compatíveis com a forçante; se a forma escolhida coincidisse com uma solução da homogênea, seria necessário multiplicar por t para obter uma forma independente.

Passo 4

Escrevo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\sqrt{2}\,t)+C_{2}\sin(\sqrt{2}\,t)\big)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}.
Agora vou usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Calcular y(0) e y'(t) explicitamente.
Primeiro y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos0 + C_{2}\sin0\big)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{0}=C_{1}+0+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=C_{1}+\frac{1}{2}.
A condição y(0)=0
C_{1}+\frac{1}{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\frac{1}{2}.
Agora derivo y(t). Derivada de y_{h}: uso produto e derivadas de seno/cosseno. Definindo \alpha=\sqrt{2} para simplificar, tenho
y_{h}(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\alpha t)+C_{2}\sin(\alpha t)\big).
Aplicando a regra do produto:
y_{h}'(t)=-2e^{-2t}\big(C_{1}\cos(\alpha t)+C_{2}\sin(\alpha t)\big)+e^{-2t}\big(-C_{1}\alpha\sin(\alpha t)+C_{2}\alpha\cos(\alpha t)\big).
Agrupando termos fatorando e^{-2t}:
y_{h}'(t)=e^{-2t}\Big(\big(-2C_{1}+ \alpha C_{2}\big)\cos(\alpha t)+\big(-2C_{2}-\alpha C_{1}\big)\sin(\alpha t)\Big).
Derivada de y_{p}:
y_{p}'(t)=0+\frac{1}{3}\cdot(-e^{-t})=-\frac{1}{3}e^{-t}.
Assim a derivada total é
y'(t)=y_{h}'(t)-\frac{1}{3}e^{-t}.

Passo 6

Avaliar y'(0) e aplicar a condição inicial y'(0)=0.
Primeiro avalio y_{h}'(0). Em t=0 temos \cos0=1,\\ \sin0=0,\\ e^{0}=1, então
y_{h}'(0)=\big(-2C_{1}+\alpha C_{2}\big).
Também y_{p}'(0)=-\dfrac{1}{3}e^{0}=-\dfrac{1}{3}. Portanto
y'(0)= -2C_{1}+\alpha C_{2}-\frac{1}{3}.
A condição y'(0)=0 resulta
-2C_{1}+\alpha C_{2}-\frac{1}{3}=0.
Substituo C_{1}=-\dfrac{1}{2} e \alpha=\sqrt{2}:
-2\left(-\frac{1}{2}\right)+\sqrt{2}\,C_{2}-\frac{1}{3}=0
1+\sqrt{2}\,C_{2}-\frac{1}{3}=0.
Calculo 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}, então
\sqrt{2}\,C_{2}+\frac{2}{3}=0\quad\Rightarrow\quad \sqrt{2}\,C_{2}=-\frac{2}{3}.
Logo
C_{2}=-\frac{2}{3\sqrt{2}}.
Posso simplificar racionalizando:
C_{2}=-\frac{2}{3\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{3}.

Passo 7

Substituir C_{1} e C_{2} na solução geral para escrever y(t) explicitamente.
Temos C_{1}=-\dfrac{1}{2} e C_{2}=-\dfrac{\sqrt{2}}{3}. Portanto
y(t)=e^{-2t}\Big(-\frac{1}{2}\cos(\sqrt{2}\,t)-\frac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}e^{-t}.

Passo 8

Pequena verificação mental (consistência): em t=0,
y(0)=\big(-\tfrac{1}{2}\cdot 1 + 0\big)+\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}= -\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=0,
ok. E a derivada inicial já foi usada para fixar C_{2}, então as condições iniciais estão satisfeitas.
Dica de prova: em problemas similares, identificar rapidamente as raízes da característica e verificar se a forçante coincide com alguma solução da homogênea evita erro ao escolher a forma da particular (multiplicar por t quando necessário).

Resposta

y(t)=e^{-2t}\Big(-\dfrac{1}{2}\cos(\sqrt{2}\,t)-\dfrac{\sqrt{2}}{3}\sin(\sqrt{2}\,t)\Big)+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{3}e^{-t}

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