Problema de Valor Inicial. Resolva as EDOs
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes e condição inicial:
O que pede: encontrar a solução
que satisfaz a EDO para todo
(solução particular + homogênea) e que respeita as condições iniciais fornecidas.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Equação homogênea associada:
. - Termo não-homogêneo (forçante):
, que é soma de uma constante e uma exponencial. - Condições iniciais em
: e .
Passo 2
Resolver a equação homogênea. Primeiro escrevo a equação característica associada à homogênea:
Vou resolver essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calculo:
Para raízes
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Explicação curta do conceito usado: ao resolver a homogênea com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
. As raízes complexas
geram termos
e
, daí a forma acima.
Passo 3
Procurar uma solução particular
para a não-homogeneidade
. Uso o método dos coeficientes indeterminados: escolho um ansatz (forma) para cada termo da forçante.
- Para a constante
, tento uma solução particular constante . Substituo em : como ,
- Para o termo
, tento , a menos que seja solução da homogênea. Verifico: as raízes da característica são , portanto NÃO é raiz; assim a forma é válida. Derivo:
Substituindo na equação:
Igualando a
da forçante:
Portanto a solução particular é
Breve lembrete didático: o método dos coeficientes indeterminados funciona testando formas simples compatíveis com a forçante; se a forma escolhida coincidisse com uma solução da homogênea, seria necessário multiplicar por
para obter uma forma independente.
Passo 4
Escrevo a solução geral como soma da homogênea com a particular:
Agora vou usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 5
Calcular
e
explicitamente.
Primeiro
:
A condição
dá
Agora derivo
. Derivada de
: uso produto e derivadas de seno/cosseno. Definindo
para simplificar, tenho
Aplicando a regra do produto:
Agrupando termos fatorando
:
Derivada de
:
Assim a derivada total é
Passo 6
Avaliar
e aplicar a condição inicial
.
Primeiro avalio
. Em
temos
, então
Também
. Portanto
A condição
resulta
Substituo
e
:
Calculo
, então
Logo
Posso simplificar racionalizando:
Passo 7
Substituir
e
na solução geral para escrever
explicitamente.
Temos
e
. Portanto
Passo 8
Pequena verificação mental (consistência): em
,
ok. E a derivada inicial já foi usada para fixar
, então as condições iniciais estão satisfeitas.
Dica de prova: em problemas similares, identificar rapidamente as raízes da característica e verificar se a forçante coincide com alguma solução da homogênea evita erro ao escolher a forma da particular (multiplicar por
quando necessário).