Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+9}\right\}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace inversa do seguinte objeto:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{s+1}{(s+1)^{2}+9}\right\}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{s+1}{(s+1)^{2}+9}.
  • Queremos encontrar a função no domínio do tempo (variável t) cuja transformada de Laplace é essa expressão.
  • Nas transformadas de Laplace usamos s como variável complexa do domínio de Laplace e t como variável do tempo ( t\ge 0 ).

Passo 2

Lembrete das fórmulas padrão da transformada de Laplace (essas são fórmulas básicas que convém decorar; vou explicar cada símbolo):
  • Para uma frequência b>0,
\mathcal{L}\{\cos(bt)\}(s)=\frac{s}{s^{2}+b^{2}},
onde s é a variável da transformada e t é o tempo.
  • Para a função e^{-a t}f(t) (multiplicação por expoente no tempo) existe uma propriedade de deslocamento no domínio s:
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}(s)=F(s+a),
ou seja, na transformada basta substituir s por s+a na transformada de f. Aqui a é um número real (frequentemente positivo) e F(s) é a transformada de f(t).
Vou explicar por que essas fórmulas são assim, de forma simples:
  • A fórmula \mathcal{L}\{\cos(bt)\}=\dfrac{s}{s^{2}+b^{2}} vem de calcular a integral \int_{0}^{\infty} e^{-st}\cos(bt)\,dt. O resultado é essa razão; o numerador s aparece porque, na resolução da integral, surge s somado ao quadrado de b no denominador.
  • A propriedade de deslocamento: se F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, então
\mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}e^{-a t}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s+a)t}f(t)\,dt=F(s+a).
Ou seja, multiplicar por e^{-a t} em t equivale a substituir s por s+a na transformada.

Passo 3

Vamos comparar a expressão dada com a forma padrão de \mathcal{L}\{\cos(bt)\} e usar a propriedade de deslocamento.
A forma padrão (sem deslocamento) para \cos(bt) é
\frac{s}{s^{2}+b^{2}}.
Se aplicarmos a propriedade de deslocamento com a=1, isto é, substituir s por s+1, obtemos
\frac{s+1}{(s+1)^{2}+b^{2}}.
Essa expressão coincide com a que foi dada no enunciado, desde que b^{2}=9. Logo b=3.
Portanto a expressão dada é exatamente a transformada de Laplace de e^{-1\cdot t}\cos(3t), isto é de e^{-t}\cos(3t).

Passo 4

Concluir e verificar rapidamente: pela propriedade citada,
\mathcal{L}\{e^{-t}\cos(3t)\}(s)=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+3^{2}}=\frac{s+1}{(s+1)^{2}+9},
que coincide com a expressão do enunciado. Assim a transformada inversa é
e^{-t}\cos(3t),\quad t\ge 0.

Resposta

e^{-t}\cos(3t)

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