Transformada de Laplace e Transformada de Laplace Inversa. Resolva as operações.
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Laplace inversa do seguinte objeto:
Informações dadas que vamos usar:
- A expressão no domínio de
é . - Queremos encontrar a função no domínio do tempo (variável
) cuja transformada de Laplace é essa expressão. - Nas transformadas de Laplace usamos
como variável complexa do domínio de Laplace e como variável do tempo ( ).
Passo 2
Lembrete das fórmulas padrão da transformada de Laplace (essas são fórmulas básicas que convém decorar; vou explicar cada símbolo):
- Para uma frequência
,
onde
é a variável da transformada e
é o tempo.
- Para a função
(multiplicação por expoente no tempo) existe uma propriedade de deslocamento no domínio :
ou seja, na transformada basta substituir
por
na transformada de
. Aqui
é um número real (frequentemente positivo) e
é a transformada de
.
Vou explicar por que essas fórmulas são assim, de forma simples:
- A fórmula
vem de calcular a integral . O resultado é essa razão; o numerador aparece porque, na resolução da integral, surge somado ao quadrado de no denominador. - A propriedade de deslocamento: se
, então
Ou seja, multiplicar por
em
equivale a substituir
por
na transformada.
Passo 3
Vamos comparar a expressão dada com a forma padrão de
e usar a propriedade de deslocamento.
A forma padrão (sem deslocamento) para
é
Se aplicarmos a propriedade de deslocamento com
, isto é, substituir
por
, obtemos
Essa expressão coincide com a que foi dada no enunciado, desde que
. Logo
.
Portanto a expressão dada é exatamente a transformada de Laplace de
, isto é de
.
Passo 4
Concluir e verificar rapidamente: pela propriedade citada,
que coincide com a expressão do enunciado. Assim a transformada inversa é