Nos problemas de 11 a 23, use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-2 y^prime+2 y=e^-t ; y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O problema pede para resolver, via transformada de Laplace, o problema de valor inicial
y'' - 2y' + 2y = e^-t, y(0)=0,;y'(0)=0
Vamos usar que a transformada de Laplace leva derivadas em t para polinômios em s, reduzindo a EDO a uma equação algébrica em Y(s)= Ly(t).

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s), Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s),
e
Le^-t=1s+1,
obtemos a equação algébrica
s^2Y(s)-2l(sY(s)r)+2Y(s) =1s+1

Passo 3

Agrupando Y(s) em evidência,
l(s^2-2s+2r)Y(s)=1s+1 Longrightarrow Y(s)=1(s+1),(s^2-2s+2)

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais. Note que
s^2-2s+2=(s-1)^2+1
Escrevemos
1(s+1)l((s-1)^2+1r) =As+1+Bs+C(s-1)^2+1
Igualando numeradores:
1=Al((s-1)^2+1r)+(Bs+C)(s+1)
Expandindo e comparando coeficientes encontra-se
A=tfrac15, B=-tfrac15, C=tfrac35
Logo
Y(s) =1/5s+1 +-tfrac15,s+tfrac35(s-1)^2+1
Para facilitar a inversão, note que
-tfrac15,s+tfrac35 =-tfrac15,(s-1)+tfrac25,
portanto
Y(s) =1/5s+1 -1/5,(s-1)(s-1)^2+1 +2/5(s-1)^2+1

Passo 5

Usamos as transformadas conhecidas
L^-1tfrac1s+1=e^-t, L^-1tfracs-1(s-1)^2+1=e^tcos t, L^-1tfrac1(s-1)^2+1=e^tsin t
Aplicando termo a termo,
y(t) =tfrac15,e^-t -tfrac15,e^tcos t +tfrac25,e^tsin t

Resposta

y(t)=15e^-t -15e^tcos t +25e^tsin t

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