• Questão 25. Verifique se a função dada é contínua no ponto especificado.
    f(x)=lllx & e & x in Q -x & e & x notin Q x0=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= x, & xinQ, -,x, & xnotinQ,
e pede para verificar se f é contínua em x0=0. O conceito que vamos usar é a definição de continuidade via epsilon–delta: mostrar que
limxto0f(x)=f(0)

Passo 2

Primeiro, calculemos o valor de f em x0=0. Como 0inQ, temos
f(0)=0

Passo 3

Para x genérico, se xinQ então f(x)=x, e se xnotinQ então f(x)=-x. Em qualquer caso vale
f(x)=pm x Longrightarrow |f(x)|=|x|

Passo 4

Queremos controlar |f(x)-f(0)| quando x está perto de 0. Note que
|f(x)-f(0)|=|f(x)-0|=|f(x)|=|x|
Para tornar |x|<varepsilon, basta escolher
de<a=varepsilon
Então, sempre que |x-0|<de<a teremos |f(x)-f(0)|<varepsilon, provando a continuidade.

Resposta

A função f é contínua em x0=0.

Exercícios relacionados