Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos.
f(x)=\left\{\begin{aligned} 1, & & -2<x<-1 \\\\ 0, & & -1<x<1 \\\\ 1, & & 1<x<2\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se expanda a função por uma série apropriada de cossenos ou de senos. A função dada é (peguei os intervalos e valores do enunciado):
f(x)=\begin{cases} 1, & -2<x<-1,\\[4pt] 0, & -1<x<1,\\[4pt] 1, & 1<x<2. \end{cases}
A tarefa é apresentar a série de Fourier adequada (série de cossenos ou de senos) que represente essa função no intervalo (-2,2).]

Passo 2

Primeiro precisamos decidir que tipo de série usar. Para isso observamos a paridade da função (isto é, se ela é par, ímpar ou nem uma nem outra). Vou testar a paridade diretamente com os valores dados:
  • Se x está em (1,2) então f(x)=1. Para -x com -2< -x < -1 tem-se f(-x)=1.
  • Se x está em (0,1) então f(x)=0. Para -x em (-1,0) também f(-x)=0.
Portanto f(-x)=f(x) para todos x dados, logo a função é par. Dica útil: funções pares são bem representadas por séries de cossenos (pois \cos é par); funções ímpares são bem representadas por séries de senos (pois \sin é ímpar).
Como a função é par no intervalo simétrico (-2,2), vamos usar a série de cossenos em (0,L) com L=2. Vou explicar a fórmula que vou usar.
Série cosseno (em (0,L)): qualquer função adequada pode ser escrita como
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes são dados por
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad(n\ge1).
Aqui L é o meio-período (a função será estendida de forma par para um período 2L); a_0 mede a média da função em [0,L] e a_n mede a componente na frequência \dfrac{n\pi}{L}.
No nosso caso L=2. Vou aplicar essas fórmulas diretamente, explicando cada integral.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Pela fórmula,
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx = \frac{2}{2}\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\,dx.
Agora uso a definição de f no intervalo [0,2]. Observando a função no enunciado (peguei os intervalos do enunciado), em [0,1) temos f(x)=0 e em (1,2) temos f(x)=1. Então
\int_{0}^{2} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} 0\,dx + \int_{1}^{2} 1\,dx = 0 + (2-1)=1.
Logo
a_0=1,
e o termo constante da série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge1.
Usando L=2,
a_n=\frac{2}{2}\int_{0}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx = \int_{0}^{2} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Como f(x)=0 em [0,1) e f(x)=1 em (1,2), a integral reduz-se a
a_n=\int_{1}^{2} \cos\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\,dx.
Para integrar, use a primitiva de \cos(kx), que é \dfrac{1}{k}\sin(kx). Aqui k=\dfrac{n\pi}{2}. Assim
a_n=\left.\frac{1}{\tfrac{n\pi}{2}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{2}\right)\right|_{x=1}^{x=2} = \frac{2}{n\pi}\Big(\sin(n\pi)-\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right)\Big).
Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Então sobra
a_n=-\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

Passo 5

Simplificar a_n usando a paridade de n.
Observe o comportamento de \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right) conforme n é par ou ímpar:
  • Se n é par, n=2m, então \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=\sin(m\pi)=0. Logo a_{2m}=0.
  • Se n é ímpar, n=2m+1, então
\sin\!\left(\frac{(2m+1)\pi}{2}\right)=(-1)^m.
Portanto, para n=2m+1 (ímpares),
a_{2m+1}=-\frac{2}{(2m+1)\pi}\,(-1)^m = (-1)^{m+1}\frac{2}{(2m+1)\pi}.
Outra forma mais compacta conveniente para escrever a série é tirar um fator comum:
a_{2m+1} = -\frac{2}{\pi}\cdot\frac{(-1)^m}{2m+1}.

Passo 6

Escrever a série de cossenos final.
Juntando o termo constante a_0/2=\dfrac{1}{2} e os coeficientes a_n (lembre que os a_n são zero para n par), a expansão em série de cossenos válida para -2<x<2 (e que converge ponto a ponto onde f é contínua, e na descontinuidade converge para a média dos limites laterais) é
f(x)=\frac{1}{2}+\sum_{m=0}^{\infty} a_{2m+1}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right),
com
a_{2m+1}=(-1)^{m+1}\frac{2}{(2m+1)\pi}.
Substituindo a_{2m+1} numa forma mais compacta:
f(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).
Observações finais rápidas (úteis na prova): nos pontos de descontinuidade de f (por exemplo x=\pm1) a série convergirá para a média dos limites esquerdo e direito, que aqui é \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}. Nos pontos internos de continuidade a série converge para f(x) (0 ou 1 conforme o trecho).

Resposta

f(x)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m}{2m+1}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi x}{2}\right).

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