Nos Problemas 11-24, expanda a função indicada em uma série apropriada de co-senos ou de senos. f(x)=\left\{\begin{aligned} 1, & & -2<x<-1 \\\\ 0, & & -1<x<1 \\\\ 1, & & 1<x<2\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede que se expanda a função por uma série apropriada de cossenos ou de senos. A função dada é (peguei os intervalos e valores do enunciado):
A tarefa é apresentar a série de Fourier adequada (série de cossenos ou de senos) que represente essa função no intervalo (-2,2).]
Passo 2
Primeiro precisamos decidir que tipo de série usar. Para isso observamos a paridade da função (isto é, se ela é par, ímpar ou nem uma nem outra). Vou testar a paridade diretamente com os valores dados:
Se x está em (1,2) então f(x)=1. Para -x com -2< -x < -1 tem-se f(-x)=1.
Se x está em (0,1) então f(x)=0. Para -x em (-1,0) também f(-x)=0.
Portanto f(-x)=f(x) para todos x dados, logo a função é par. Dica útil: funções pares são bem representadas por séries de cossenos (pois \cos é par); funções ímpares são bem representadas por séries de senos (pois \sin é ímpar).
Como a função é par no intervalo simétrico (-2,2), vamos usar a série de cossenos em (0,L) com L=2. Vou explicar a fórmula que vou usar.
Série cosseno (em (0,L)): qualquer função adequada pode ser escrita como
Aqui L é o meio-período (a função será estendida de forma par para um período 2L); a_0 mede a média da função em [0,L] e a_n mede a componente na frequência \dfrac{n\pi}{L}.
No nosso caso L=2. Vou aplicar essas fórmulas diretamente, explicando cada integral.
Agora uso a definição de f no intervalo [0,2]. Observando a função no enunciado (peguei os intervalos do enunciado), em [0,1) temos f(x)=0 e em (1,2) temos f(x)=1. Então
Juntando o termo constante a_0/2=\dfrac{1}{2} e os coeficientes a_n (lembre que os a_n são zero para n par), a expansão em série de cossenos válida para -2<x<2 (e que converge ponto a ponto onde f é contínua, e na descontinuidade converge para a média dos limites laterais) é
Observações finais rápidas (úteis na prova): nos pontos de descontinuidade de f (por exemplo x=\pm1) a série convergirá para a média dos limites esquerdo e direito, que aqui é \dfrac{1+0}{2}=\dfrac{1}{2}. Nos pontos internos de continuidade a série converge para f(x) (0 ou 1 conforme o trecho).