Nos Problemas 1-10, determine se a função é par, ímpar, ou nem par nem ímpar.
f(x)=e^{x}-e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. A função dada é
f(x)=e^{x}-e^{-x}.
Informações relevantes:
  • A expressão da função é \,f(x)=e^{x}-e^{-x}\,.
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R} (porque a função exponencial é definida em todos os reais).
    A partir disso devemos aplicar os testes de paridade.

Passo 2

Definições e ideia para o teste (explicação didática):
  • Uma função é par se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=f(x).
Geometricamente, funções pares são simétricas em relação ao eixo y.
  • Uma função é ímpar se, para todo x no domínio, valer
f(-x)=-f(x).
Geometricamente, funções ímpares são simétricas em relação à origem (rotacionando 180° o gráfico dá o mesmo).
  • Se não vale nem f(-x)=f(x) nem f(-x)=-f(x) (para todo x), então a função é nem par nem ímpar.
    No exame, o procedimento prático é: calcular f(-x) e comparar com f(x) e com -f(x).

Passo 3

Calcular f(-x) aplicando a definição da função:
f(-x)=e^{-x}-e^{\,x}.
Aqui foi só substituir x por -x na fórmula original.

Passo 4

Manipular f(-x) para comparar com f(x):
f(-x)=e^{-x}-e^{x}=-(e^{x}-e^{-x})= -\,f(x).
Portanto obtemos exatamente a relação f(-x)=-f(x), válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Interpretação final e dica para a prova:
  • Como a relação f(-x)=-f(x) é verdadeira para todo x do domínio, pela definição a função é ímpar.
  • Dica rápida: sempre que a substituição x\mapsto -x troca o sinal de toda a expressão (como aqui), a função é ímpar. Exemplos simples para fixar: x^3 é ímpar porque (-x)^3=-x^3; x^2 é par porque (-x)^2=x^2.
    Força aí — você já tem a técnica curta para identificar paridade numa folha de prova.

Resposta

ímpar

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