Nos Problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.
d yd x=sumx ln yx

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
dydx = ln(yx)
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) do primeiro grau. Para resolver esse tipo de equação, muitas vezes usamos uma substituição que simplifica a expressão. No nosso caso, vamos precisar fazer uma substituição que envolva , já que ele aparece dentro do logaritmo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Vamos definir:
v = yx
Isso significa que . Agora, precisamos encontrar em termos de e .

Passo 3

Derivando dydx = v + x cdot dvdx em relação a v + x cdot dvdx = ln(v) , usamos a regra do produto:
Então, substituímos na equação original:

Passo 4

Agora, vamos isolar x cdot dvdx = ln(v) - v :
dvdx = ln(v) - vx
Essa equação é separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis e para integrá-las.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
dvln(v) - v = dxx
Agora, integramos ambos os lados. A integral do lado direito é mais simples:
integral dvln(v) - v = integral dxx

Passo 6

Integrando:
integral dvln(v) - v = ln|x| + C
A integral do lado esquerdo não tem uma solução elemental fácil, então vamos deixar assim por enquanto.

Passo 7

Voltando à substituição original integral dvln(v) - v = ln|x| + C , temos:
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para obter uma solução explícita, precisaríamos resolver a integral do lado esquerdo, o que pode não ser possível com funções elementares.

Resposta

A solução implícita da equação diferencial é:
integral dvln(v) - v = ln|x| + C
Onde é a constante de integração.

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