Nos problemas de 7 a 12, encontre a transformada de Laplace da função dada.
7. f(t) = { 0, t < 2; (t - 2)², t ≥ 2 }

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Transformada de Laplace da função definida por:
Aqui, estamos lidando com Transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e problemas de engenharia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Transformada de Laplace em funções que começam em um certo ponto no tempo, usando a função degrau unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função usando a função degrau unitário . A função degrau é igual a 0 para e igual a 1 para . Então, podemos expressar da seguinte maneira:
Isso facilita a aplicação da Transformada de Laplace, especialmente quando temos um deslocamento no tempo.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante da Transformada de Laplace que lida com o deslocamento no tempo. A propriedade diz que:
No nosso caso, e . Então, aplicando essa propriedade:

Passo 4

Agora precisamos calcular a Transformada de Laplace de , que é uma fórmula padrão. Sabemos que:
Para :
Portanto, substituindo de volta na equação anterior:

Resposta

A Transformada de Laplace da função dada é:

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