Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função \varphi de modo que d \varphi=P d x+Q d y, e(b) integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
int_{(0,0)}^{(2,8)}\left(y^{3}+3 x^{2} y\right) d x+\left(x^{3}+3 y^{2} x+1\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
\int_{(0,0)}^{(2,8)}\bigl(y^{3}+3x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}x \;+\;\bigl(x^{3}+3y^{2}x+1\bigr)\,\mathrm{d}y
é independente do caminho e calcular seu valor.
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais conservativos em \mathbb{R}^2. Vamos (a) verificar exatidão e achar uma função potencial \varphi tal que
\mathrm{d}\varphi = P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y,
com P(x,y)=y^3+3x^2y e Q(x,y)=x^3+3y^2x+1, e depois (b) computar a integral por um caminho simples.

Passo 2

Verificamos se o campo é exato, checando
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^3+3x^2y\bigr) =3y^2+3x^2,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^3+3y^2x+1\bigr) =3x^2+3y^2.
Como \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo e existe potencial \varphi.

Passo 3

Para achar \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) =\int P(x,y)\,\mathrm{d}x =\int\bigl(y^3+3x^2y\bigr)\,\mathrm{d}x =xy^3+x^3y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Diferenciando em relação a y:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =3xy^2 + x^3 + h'(y)
e isso deve ser igual a Q(x,y)=x^3+3y^2x+1. Logo,
3xy^2 + x^3 + h'(y) = x^3 + 3xy^2 +1 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=1 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=y + C.
Podemos escolher C=0. Assim,
\varphi(x,y)=xy^3 + x^3y + y.

Passo 4

A integral de linha em um campo conservativo é a diferença do potencial nos extremos:
\int_{(0,0)}^{(2,8)}P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y =\varphi(2,8)-\varphi(0,0).
Calculando,
\varphi(2,8)=2\cdot8^3 + 2^3\cdot8 + 8 =2\cdot512 + 8\cdot8 +8 =1024+64+8 =1096,
\varphi(0,0)=0+0+0=0.
Logo o valor da integral é 1096.

Passo 5

Como check extra, escolhemos o caminho em duas etapas: primeiro de (0,0) a (2,0) com y=0, depois de (2,0) a (2,8) com x=2.
  1. Sobre y=0: P=y^3+3x^2y=0, então
\int_{x=0}^{2}P\,\mathrm{d}x=0.
  1. Sobre x=2: Q=x^3+3y^2x+1=8+6y^2+1=9+6y^2, então
\int_{y=0}^{8}(9+6y^2)\,\mathrm{d}y =\bigl[9y+2y^3\bigr]_{0}^{8} =9\cdot8 +2\cdot512 =72+1024 =1096.
Somando, obtemos 1096, confirmando a resposta.

Resposta

O campo é conservativo e
\int_{(0,0)}^{(2,8)}\bigl(y^{3}+3x^{2}y\bigr)\,\mathrm{d}x+\bigl(x^{3}+3y^{2}x+1\bigr)\,\mathrm{d}y =1096.

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