Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função
de modo que
integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de linha
é independente do caminho e calcular seu valor.
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais conservativos em . Vamos (a) verificar exatidão e achar uma função potencial
tal que
O conteúdo é integrais de linha de campos vetoriais conservativos em
com
e
, e depois (b) computar a integral por um caminho simples.
Passo 2
Verificamos se o campo é exato, checando
Como
em todo
, o campo é conservativo e existe potencial
.
Passo 3
Para achar
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando em relação a
:
e isso deve ser igual a
. Logo,
Podemos escolher
. Assim,
Passo 4
A integral de linha em um campo conservativo é a diferença do potencial nos extremos:
Calculando,
Logo o valor da integral é
.
Passo 5
Como check extra, escolhemos o caminho em duas etapas: primeiro de
a
com
, depois de
a
com
.
- Sobre
: , então
- Sobre
: , então
Somando, obtemos
, confirmando a resposta.
Resposta
O campo é conservativo e