Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função
de modo que
integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a integral
é independente do caminho e calculá-la de duas formas: (a) encontrando um potencial
tal que
, com
e (b) realizando a integral ao longo de um caminho simples que ligue
a
. O conteúdo envolve verificar exatidão de diferenciais e aplicar o Teorema de Gradiente.
Passo 2
Verificamos a exatidão conferindo
Como
em todo
, o campo é conservativo e existe
com
.
Passo 3
Para achar
integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
dá
Assim, desprezando constante,
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental,
Calculando,
logo o valor da integral é
.
Passo 5
Agora integramos pelo caminho em dois segmentos: primeiro de
a
(reta horizontal), depois a
(reta vertical).
No segmento horizontal ,
,
vai de
a
, então
No segmento horizontal
Passo 6
No segmento vertical
,
,
vai de
a
, então
Somando
obtém-se novamente
, confirmando a independência de caminho.