Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função \varphi de modo que d \varphi=P d x+Q d y, e(b) integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
int_{(1,2)}^{(3,6)}\left(2 y^{2} x-3\right) d x+\left(2 y x^{2}+4\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a integral
\int_{(1,2)}^{(3,6)}\bigl(2y^{2}x - 3\bigr)\,dx \;+\;\bigl(2yx^{2} + 4\bigr)\,dy
é independente do caminho e calculá-la de duas formas: (a) encontrando um potencial \varphi tal que d\varphi = P\,dx + Q\,dy, com
P(x,y) = 2y^{2}x - 3,\quad Q(x,y) = 2yx^{2} + 4,
e (b) realizando a integral ao longo de um caminho simples que ligue (1,2) a (3,6). O conteúdo envolve verificar exatidão de diferenciais e aplicar o Teorema de Gradiente.

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2y^{2}x - 3\bigr) = 4yx,
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2yx^{2} + 4\bigr) = 4yx.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x em todo \mathbb{R}^2, o campo é conservativo e existe \varphi com d\varphi=P\,dx+Q\,dy.

Passo 3

Para achar \varphi(x,y) integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int\bigl(2y^{2}x - 3\bigr)\,dx = y^{2}x^{2} - 3x + h(y).
Derivando em y e igualando a Q
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = 2yx^{2} + h'(y) \overset!= 2yx^{2} + 4 \;\Longrightarrow\; h'(y)=4 \;\Longrightarrow\; h(y)=4y + C.
Assim, desprezando constante,
\varphi(x,y)=x^{2}y^{2}-3x+4y.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental,
\int_{(1,2)}^{(3,6)}P\,dx+Q\,dy = \varphi(3,6)-\varphi(1,2).
Calculando,
\varphi(3,6)=3^{2}\cdot6^{2}-3\cdot3+4\cdot6=324-9+24=339,
\varphi(1,2)=1^{2}\cdot2^{2}-3\cdot1+4\cdot2=4-3+8=9,
logo o valor da integral é 339-9=330.

Passo 5

Agora integramos pelo caminho em dois segmentos: primeiro de (1,2) a (3,2) (reta horizontal), depois a (3,6) (reta vertical).
No segmento horizontal y=2, dy=0, x vai de 1 a 3, então
\int_{x=1}^{3}\bigl(2\cdot2^{2}x - 3\bigr)\,dx = \int_{1}^{3}(8x-3)\,dx = \bigl[4x^{2}-3x\bigr]_{1}^{3} = (36-9)-(4-3)=27-1=26.

Passo 6

No segmento vertical x=3, dx=0, y vai de 2 a 6, então
\int_{y=2}^{6}\bigl(2y\cdot3^{2}+4\bigr)\,dy = \int_{2}^{6}(18y+4)\,dy = \bigl[9y^{2}+4y\bigr]_{2}^{6} = (324+24)-(36+8)=348-44=304.
Somando 26+304 obtém-se novamente 330, confirmando a independência de caminho.

Resposta

330

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