Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial \varphi para boldsymbol{F}.
boldsymbol{F}(x, y)=\left(4 x^{3} y^{3}+3\right) \boldsymbol{i}+\left(3 x^{4} y^{2}+1\right) \boldsymbol{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\boldsymbol{F}(x,y) = \bigl(4x^{3}y^{3}+3,\;3x^{4}y^{2}+1\bigr)
é um campo gradiente. O conteúdo da matéria é campos conservativos em \mathbb{R}^{2}: para isso precisamos checar se o domínio é simplesmente conexo (aqui é todo \mathbb{R}^{2}) e se
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x},
onde P(x,y)=4x^{3}y^{3}+3 e Q(x,y)=3x^{4}y^{2}+1.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais mistas:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^{3}y^{3}+3\bigr) = 12x^{3}y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{4}y^{2}+1\bigr) = 12x^{3}y^{2}.
Como \partial P/\partial y = \partial Q/\partial x, \boldsymbol{F} é conservativo.

Passo 3

Para achar a função potencial \varphi(x,y), integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int \bigl(4x^{3}y^{3}+3\bigr)\,dx = x^{4}y^{3} + 3x + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Derivamos \varphi em relação a y e igualamos a Q:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}y^{3} + 3x + h(y)\bigr) = 3x^{4}y^{2} + h'(y)
e isso deve ser igual a
Q(x,y)=3x^{4}y^{2}+1.
Logo h'(y)=1, o que implica h(y)=y + C.

Passo 5

Substituindo em \varphi, obtemos
\varphi(x,y) = x^{4}y^{3} + 3x + y + C.
Podemos escolher C=0 sem perda de generalidade.

Resposta

Sim, \boldsymbol{F} é um campo gradiente. Uma função potencial é
\varphi(x,y)=x^{4}y^{3}+3x+y.

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