Nos Problemas 13-15, determine se o campo vetorial indicado é um campo gradiente. Se for, determine uma função potencial
para
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é um campo gradiente. O conteúdo da matéria é campos conservativos em : para isso precisamos checar se o domínio é simplesmente conexo (aqui é todo
) e se
é um campo gradiente. O conteúdo da matéria é campos conservativos em
onde
e
.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais mistas:
Como
,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
e isso deve ser igual a
Logo
, o que implica
.
Passo 5
Substituindo em
, obtemos
Podemos escolher
sem perda de generalidade.
Resposta
Sim,
é um campo gradiente. Uma função potencial é
.