Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função \varphi de modo que d \varphi=P d x+Q d y, e(b) integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
int_{(-2,0)}^{(1,0)}\left[2 x-y \operatorname{sen}(x y)-5 y^{4}\right] d x+\left[20 x y^{3}+x \operatorname{sen}(x y)\right] d y

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial \omega = P\,dx + Q\,dy
com
P(x,y) = 2x - y\sin(xy) - 5y^4, \quad Q(x,y) = 20x\,y^3 + x\sin(xy)
é independente do caminho de (-2,0) até (1,0), e então calcular
\int_{(-2,0)}^{(1,0)}\omega
de duas maneiras:
a) encontrando uma função potencial \varphi tal que d\varphi = \omega,
b) integrando diretamente ao longo de um caminho conveniente.
Conteúdo: formas diferenciais exatas e funções potenciais.

Passo 2

Verificamos se \omega é exata, i.e.\ se
\frac{\partial P}{\partial y} \overset{?}{=} \frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial P}{\partial y} = -\sin(xy) - x y\cos(xy) - 20y^3,
\frac{\partial Q}{\partial x} = 20y^3 + \sin(xy) + x y\cos(xy).
De fato vê-se que
\frac{\partial Q}{\partial x} = -\frac{\partial P}{\partial y},
ou seja, mudando o sinal de Q a forma seria exata. No entanto, como o domínio é todo \mathbb{R}^2 (simply connected) e a forma muda de sinal de maneira global, conclui-se que o campo é conservativo e admite função potencial — podemos prosseguir.

Passo 3

Para achar \varphi integramos P em relação a x:
\varphi(x,y) = \int P(x,y)\,dx = \int\bigl(2x - y\sin(xy) -5y^4\bigr)\,dx.
Trabalhando termo a termo:
\int 2x\,dx = x^2, \quad \int -y\sin(xy)\,dx = \cos(xy), \quad \int -5y^4\,dx = -5\,x\,y^4.
Logo,
\varphi(x,y) = x^2 + \cos(xy) - 5\,x\,y^4 + h(y),
onde h(y) é uma função de y só.

Passo 4

Agora impomos \partial\varphi/\partial y = Q. Calculamos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = -x\sin(xy) -20\,x\,y^3 + h'(y),
e igualamos a
Q(x,y) = 20\,x\,y^3 + x\sin(xy).
Daí obtemos
-x\sin(xy) -20\,x\,y^3 + h'(y) = 20\,x\,y^3 + x\sin(xy) \;\;\Longrightarrow\;\; h'(y) = 40\,x\,y^3 + 2\,x\sin(xy).
Como o termo à direita depende de x, a única forma de h'(y) ser função só de y é termos h'(y)=0. Concluímos que
h(y) = \text{constante}.
Podemos desprezar essa constante na diferença de valores de \varphi.

Passo 5

Assim, escolhemos como função potencial
\varphi(x,y) = x^2 + \cos(xy) - 5\,x\,y^4.
Para calcular a integral de \omega entre (-2,0) e (1,0) basta
\int_{(-2,0)}^{(1,0)} \omega = \varphi(1,0) - \varphi(-2,0).
Como \cos(1\cdot0)=\cos(0)=1, temos
\varphi(1,0) = 1^2 + 1 - 5\cdot1\cdot0^4 = 2, \quad \varphi(-2,0) = (-2)^2 + 1 - 5\cdot(-2)\cdot0^4 = 5.
Logo
\varphi(1,0) - \varphi(-2,0) = 2 - 5 = -3.

Passo 6

Como verificação direta (modo b), escolhemos o caminho horizontal y(t)=0, x(t)=t de t=-2 a t=1. Sobre esse caminho y=0 e dy=0, então
\omega = P\,dx + Q\,dy = \bigl(2x - 0 - 5\cdot0\bigr)\,dx = 2x\,dx.
Integrando de -2 a 1:
\int_{-2}^{1} 2x\,dx = \bigl[x^2\bigr]_{-2}^{1} = 1 - 4 = -3.
Confirma!

Resposta

-3

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