Nos Problemas 9-12, mostre que a integral dada é independente do caminho. Calcule de dois modos: (a) determine uma função
de modo que
integre ao longo de qualquer caminho conveniente entre os pontos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a forma diferencial
com
com
é independente do caminho de
até
, e então calcular
de duas maneiras:
a) encontrando uma função potencial tal que
,
b) integrando diretamente ao longo de um caminho conveniente.
a) encontrando uma função potencial
b) integrando diretamente ao longo de um caminho conveniente.
Conteúdo: formas diferenciais exatas e funções potenciais.
Passo 2
Verificamos se
é exata, i.e.\ se
Calculamos
De fato vê-se que
ou seja, mudando o sinal de
a forma seria exata. No entanto, como o domínio é todo
(simply connected) e a forma muda de sinal de maneira global, conclui-se que o campo é conservativo e admite função potencial — podemos prosseguir.
Passo 3
Para achar
integramos
em relação a
:
Trabalhando termo a termo:
Logo,
onde
é uma função de
só.
Passo 4
Agora impomos
. Calculamos
e igualamos a
Daí obtemos
Como o termo à direita depende de
, a única forma de
ser função só de
é termos
. Concluímos que
Podemos desprezar essa constante na diferença de valores de
.
Passo 5
Assim, escolhemos como função potencial
Para calcular a integral de
entre
e
basta
Como
, temos
Logo
Passo 6
Como verificação direta (modo b), escolhemos o caminho horizontal
,
de
a
. Sobre esse caminho
e
, então
Integrando de
a
:
Confirma!