Nos Problemas 16 e 17, mostre que a integral dada é independente do caminho e calcule-a.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
entre os pontos
e
.
Aqui o conteúdo é campo conservativo e independência de caminho. Vamos mostrar que e, em seguida, encontrar uma função potencial
para calcular a integral via
.
Aqui o conteúdo é campo conservativo e independência de caminho. Vamos mostrar que
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para checar se o rotor é nulo:
Como todas as igualdades
,
e
se cumprem, concluímos que
é conservativo e, portanto, a integral é independente do caminho.
Passo 3
Procuramos
tal que
Integramos
em
:
Como
, temos
Finalmente, impondo
, segue
.
Portanto, desprezando constante,
Portanto, desprezando constante,
Passo 4
Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
Calculamos
Logo