Nos Problemas 16 e 17, mostre que a integral dada é independente do caminho e calcule-a.
int_{(1,1, \ln 3)}^{(2,2, \ln 3)} e^{2 z} d x+3 y^{2} d y+2 x e^{2 z} d z

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha do campo vetorial
F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(e^{2z},\,3y^{2},\,2x e^{2z}\bigr)
entre os pontos A=(1,1,\ln3) e B=(2,2,\ln3).
Aqui o conteúdo é campo conservativo e independência de caminho. Vamos mostrar que \nabla\times F=0 e, em seguida, encontrar uma função potencial f para calcular a integral via f(B)-f(A).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para checar se o rotor é nulo:
\frac{\partial P}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0; \qquad \frac{\partial P}{\partial z}=2e^{2z},\quad \frac{\partial R}{\partial x}=2e^{2z}; \qquad \frac{\partial Q}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial y}=0.
Como todas as igualdades \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, \partial P/\partial z=\partial R/\partial x e \partial Q/\partial z=\partial R/\partial y se cumprem, concluímos que F é conservativo e, portanto, a integral é independente do caminho.

Passo 3

Procuramos f tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P=e^{2z},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=Q=3y^{2},\quad \frac{\partial f}{\partial z}=R=2x e^{2z}.
Integramos \partial f/\partial x em x:
f(x,y,z)=x e^{2z}+C(y,z).
Como \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}=C_{y}(y,z)=3y^{2}, temos
C(y,z)=y^{3}+D(z).
Finalmente, impondo \partial f/\partial z=2x e^{2z}+D'(z)=2x e^{2z}, segue D'(z)=0.
Portanto, desprezando constante,
f(x,y,z)=x e^{2z}+y^{3}.

Passo 4

Pelo teorema fundamental das integrais de linha em campos conservativos,
\int_{A}^{B}F\cdot d\mathbf r = f(B)-f(A).
Calculamos
f(2,2,\ln3)=2\,e^{2\ln3}+2^{3}=2\cdot9+8=26,
f(1,1,\ln3)=1\cdot e^{2\ln3}+1^{3}=9+1=10.
Logo
\int_{A}^{B}e^{2z}\,dx+3y^{2}\,dy+2x e^{2z}\,dz =26-10=16.

Resposta

16

Exercícios relacionados