Nos problemas 20 e 21, use o teorema de Green para calcular a integral de linha dada.
, onde
é o contorno da região determinada pelos gráficos
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde é o contorno positivamente orientado da região
limitada por
e
.
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte a integral de linha num duplo integral sobre .
onde
O conteúdo é o Teorema de Green, que converte a integral de linha num duplo integral sobre
Passo 2
Pelo Teorema de Green,
onde
e
.
Calculemos as derivadas parciais:
Calculemos as derivadas parciais:
Logo o integrando é
.
Passo 3
A região
pode ser descrita por
e
.
Assim o duplo integral fica
Assim o duplo integral fica
Passo 4
Calcule a integral interna em
:
Passo 5
Agora integramos em
:
Calculando cada termo:
Somando, obtém-se