Nos problemas 17-22, resolva o problema de valor inicial.
t^2 d xd t+3 t x=t^4 ln t+1, x(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
t^2dxdt+3t,x = t^4ln t + 1,
com a condição inicial x(1)=0.
É uma equação de primeira ordem linear em x(t). Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la.

Passo 2

Dividindo tudo por t^2 (supondo t>0), colocamos em forma padrão
dxdt + 3t,x = t^2ln t + 1t^2
O coeficiente de x é tfrac3t, então o fator integrante é
mu(t) = expl(integral 3t,dtr) = exp(3ln t) = t^3

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^3. O lado esquerdo torna-se a derivada de ,t^3 x:
t^3dxdt + 3t^2 x = ddtl(t^3 xr)
No lado direito obtemos
t^3l(t^2ln t + 1t^2r) = t^5ln t + t
Logo
ddtl(t^3 xr) = t^5ln t + t

Passo 4

Integramos em t:
t^3 x = integral t^5ln t,dt + integral t,dt + C
Para integral t^5ln t,dt, por partes, com u=ln t, dv=t^5dt, vem
integral t^5ln t,dt = t^66ln t - integral t^66cdot1t,dt = t^66ln t - t^636
E
integral t,dt = t^22
Portanto
t^3 x = t^66ln t - t^636 + t^22 + C

Passo 5

Usamos x(1)=0. Para t=1,
1^3cdot 0 = 0 = 1^66cdot 0 - 1^636 + 1^22 + C = -136 + 12 + C = 1736 + C
Logo
C = -1736

Passo 6

Substituindo C e dividindo por t^3,
x(t) = 1t^3l(t^66ln t - t^636 + t^22 - 1736r) = t^36ln t - t^336 + 12t - 1736,t^3

Resposta

boxedx(t)=t^36ln t ;-;t^336;+;12t;-;1736,t^3

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