Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS rot F cdot d S.
F(x, y, z)=arctan (x^2 y z^2) i+x^2 y j+x^2 z^2 k, S é o cone x=raizy^2+z^2, 0 <= x <= 2, orientado na direção do eixo positivo x.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de nablatimes vec F através da superfície S dada pelo cone
x = raizy^2+z^2, 0 <= x <= 2,
orientado no sentido do eixo positivo x. O enunciado sugere usar o Teorema de Stokes, que diz:
integral duplaS (nablatimes vec F)cdot dvec S ;=;ointpartial Svec Fcdot dvec r
Então vamos achar a curva de bordo partial S, escolher sua orientação compatível com a normal apontando para +x e calcular ointpartial S vec Fcdot dvec r.

Passo 2

A curva partial S é a interseção do cone com o plano x=2, ou seja
x=2, y^2+z^2=4,
uma circunferência de raio 2 no plano x=2. Pela regra da mão direita, com a normal da superfície apontando em +x, a orientação da curva vista de +x deve ser anti-horária no plano y - z. Logo adotamos a parametrização
vec r(t) = l(2,;2cos t,;2sin tr), 0<= t<= 2pi
Então
dvec r = l(0,;-2sin t,;2cos tr),dt

Passo 3

Na curva, x=2, y=2cos t, z=2sin t. Assim
x^2y z^2 = 2^2,(2cos t),(2sin t)^2 = 4cdot2cos tcdot4sin^2 t = 32cos t,sin^2 t,
e os componentes de vec F ficam
vec F(vec r(t)) = l(arctan(32cos t,sin^2 t),;x^2y,;x^2z^2r) = l(arctan(32cos t,sin^2 t),;8cos t,;16sin^2 tr)
Então
vec Fcdot dvec r = arctan(32cos t,sin^2 t)cdot0 ;+;8cos t,(-2sin t) ;+;16sin^2 t,(2cos t),dt
= l(-16cos t,sin t + 32sin^2 t,cos tr),dt

Passo 4

Agora integramos de 0 a 2pi:
ointpartial Svec Fcdot dvec r = integral0^2pil(-16sin tcos t +32sin^2 tcos tr),dt
Dividimos em duas integrais:
integral0^2pi-16sin tcos t,dt = -8integral0^2pi2sin tcos t,dt = -8l[sin^2 tr]0^2pi = 0,
integral0^2pi32sin^2 tcos t,dt = tfrac323l[sin^3 tr]0^2pi = 0
Somando dá zero.

Resposta

integral duplaS (nablatimes vec F)cdot dvec S = 0

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