Use o Teorema de Stokes para calcular
.
, S é o cone
, orientado na direção do eixo positivo
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície
dada pelo cone
orientado no sentido do eixo positivo
. O enunciado sugere usar o Teorema de Stokes, que diz:
Então vamos achar a curva de bordo
, escolher sua orientação compatível com a normal apontando para
e calcular
.
Passo 2
A curva
é a interseção do cone com o plano
, ou seja
uma circunferência de raio 2 no plano
. Pela regra da mão direita, com a normal da superfície apontando em
, a orientação da curva vista de
deve ser anti-horária no plano
. Logo adotamos a parametrização
Então
Passo 3
Na curva,
,
,
. Assim
e os componentes de
ficam
Então
Passo 4
Agora integramos de
a
:
Dividimos em duas integrais:
Somando dá zero.